有限域

[拼音]：youxianyu

[外文]：finite field

仅含有限多个元素的域。它首先由E.伽罗瓦所发现，因而又称为伽罗瓦域。它和有理数域、实数域比较，有着许多不同的性质。最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的商环Z/(p)，由p个元素0，1，…，p-1组成，按模p相加和相乘。这p个元素的域简记为Fp，有如下性质：pα=0;，αp=α其中α、b∈Fp。Fp称为特征为p的素域，它与素数成一一对应。

任一有限域的特征是一素数。一个特征为素数 p的有限域F仍满足上述的第一、第二两条性质，F包含一个最小的子域，由单位元素e的一切倍数0，e，2e…，(p-1)e组成，它与Z/(p)同构。因此一个特征为p的有限域总是以特征为p的素域Fp作为子域。

特征p的有限域F也是Fp上一个有限维线性空间。设维数为n，F对Fp的一基为ε1，ε2，…，εn，则F由下列pn个元素组成：所以｜F｜=pn。F的乘法群F*=F-{0}是一个pn-1阶循环群，恰好是多项式的全部根。因此，F恰好由在Fp的代数闭包内的全部根组成。反之，任给一个素数p和一个正整数n，恒存在一个含pn个元素的有限域，它就是多项式在Fp上的分裂域。元素个数相同的任何两个有限域是同构的。因此，在同构意义下，对每个素数p和一个正整数n，存在一个而且只有一个含pn个元素的有限域，这个有限域记作GF(pn)。

顺便指出，J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”。因此，有限除环就是现在所说的有限域。

对n的每个因子d，GF(pn)有一个而且只有一个含pd个元素的子域。因此，GF(pn)的子域和n的因子成一一对应。

有限域F=GF(pn)有一个弗罗贝尼乌斯自同构，有，对所有x∈F，当且仅当n|k，因而σ生成一个n阶循环群G，|G|=[F:Fp]。F/Fp是一个伽罗瓦扩张，G是它的群，对n的每个因子d，在伽罗瓦对应下，子群〈〉和它的不动域GF()成一一对应。

对于α∈F=GF(pn)，规定：

，

称为α从F到Fp的迹，在不致引起混淆的情况下，简记作Tr。Tr(x)是线性空间F/Fp上的一个线性函数，是加法群F到加法群Fp的一个满同态。

对α∈F，规定：

，

称为α从F到Fp的范数，可简记作N(α)。N是乘法群F*到F壩的一个满同态。

设ƒ(x)是元素α∈F＝GF(pn)在Fp上的极小多项式，ƒ(x)的次数称为α的次数，α的次数d等于[Fp(α):Fp]，因而d│n。假设α≠0，则α的次数d和α在乘法群F*中的阶e有如下的关系:d是最小正整数，使得pd呏1(тode)， 即α的次数等于pтode的指数。

若α(≠0)的阶等于pn-1，则α称为F的一个本原元素。它的极小多项式ƒ(x)称为（n次）本原多项式。

设g(x)是Fp[x]中一个不可约多项式， 且g(x)≠x，若存在一个最小正整数r使得 xr呏1(modg(x))，则r称为g(x)的周期。一个非零的 α∈F的极小多项式ƒ(x)的周期，等于α的阶。特别，一个n次本原多项式的周期等于pn-1。设一个不可约多项式g(x)(≠x)的周期为r，则g(x)k的周期等于rps，其中ps-1<k≤ps。

Fp[x]的一个m 次不可约多项式g(x)在GF(pn)内有根；；这三者是等价的。因此，Fp[x]中n次不可约多项式全是的因式，n次不可约多项式的个数为，其中μ(d)是麦比乌斯函数。用表示Fp上全部n次不可约多项式(首项系数为1)的积，于是。n次本原多项式的个数为，其中φ(m)为欧拉函数。

Fp上一个多项式ƒ(x)（次数n≥1）的分解对现代通信有很重要的关系。在理论上它和商环R=Fp[x]/(ƒ(x))的代数结构又密切相关。令，则V有如下的性质。

（1）Fp嶅V嶅R，V为R的一个子环而且半单，因而V是一些与Fp同构的子域的直和，i=1，2，…，g;g等于V作为Fp上线性空间的维数，g也是ƒ(x)在Fp上相异的不可约因式的个数。的单位元素ei(i=1，2，…，g)，构成R的互相正交的本原幂等元而且。

（2）令，则 Pi(x)为一个不可约多项式的方幂，，而且·。pj(x)称为ƒ(x)的准素因式。

为了给出分解ƒ(x)的实际的计算法，还有如下性质。

（3）R有一个F自同构π：π(g(x))=g(x)p，g(x)∈R，则V就是属于π的特征值1的全部特征向量和0构成的特征子空间。于是有:a.设η∈V，g(x)为ƒ(x)的一个因式，如果g(x)凲η-i，i=0，1，…，p-1，则为一个非平凡的分解，而且这个条件也是必要的。上面的乘积中出现的因式两两互素。b.设η1，η2，…，ηg为V对Fp的一基，则g(x)为一个不可约多项式的方幂，其充分必要条件是每个ηi与Fp中一个元素modg(x)同余。

分解ƒ(x)的步骤大致如下:不妨设η1=1。用η2按a.分解ƒ(x)，得到的因式记为ƒ1(x)，ƒ2(x)，…，ƒr(x)，r≤g-1，每个ƒi(x)按b.进行检验，如果ƒi(x)含有两个或两个以上不同素因式，则存在一个ηj，j>2，使得ƒi(x)和ηj满足a.中的条件，用ηj对ƒi(x)进行分解， 如此进行下去，经有限步后，即得到ƒ(x)的全部准素因式pi(x)，i=1，2，…，g，而pi(x)的分解是容易的。至于V的求得，则是属于线性方程组的问题。

判定一个n次多项式ƒ(x)是否是本原的，还没有一般的方法，只有用试算的办法去计算具体的ƒ(x)的周期之后才能作出判断。F2上 168次以下的三项或五项的本原多项式（每个次数给出一个）已经有表可查。计算出全部F上n次不可约多项式大致有两种途径，一是直接分解第2n-1个分圆多项式，一是筛法，它正如求有理素数的筛法一样。F2上16次以下的全部不可约多项式和17～34次具有各种周期的不可约多项式有表可查。

令R表示由有限域 F上的形式幂级数组成的环。ƒ可逆的充分必要条件是α0≠0。如果存在一个正整数l使得，那么ƒ就称为循环的。若ƒ是循环的，则最小的l就称为ƒ的周期。全部循环幂级数构成R的一个子环，记作C。R中所有形如h(x)/g(x)的真分式构成R的一个子环，记作B，这里h(x)和g(x)是F[x]中的多项式， h(x)的次数小于g(x)的次数，且g(0)≠0。可以证明，C=B。因此，B与C的关系正如正的真分数（分母与10互素）与循环小数的关系一样。有限域在现代通信（例如编码）、组合数学（例如有限几何、区组设计、差集合、正交拉丁方）以及正交试验设计等各方面，有广泛的应用。

仅以线性反馈移位寄存器序列（以下简称线性移存器序列）为例，叙述如下。有限域F上一个非退化n位线性移存器序列，从一个非零初态x0，x1，…，xn-1出发产生一个输出序列， 称之为一个n位线性移存器序列，它在 t时刻的输出xt是它前 n个时刻的输出的线性函数 ，式中b)j∈F，是与时刻 t无关的常数。这个n位非退化线性移存器的功能由上述递推关系所刻画。将输出序列表成幂级数，此时x相当于移存器中的迟延算子。令，则α(x)·g(x)为一个次数不大于(n-1)的多项式，记为h(x)，于是α(x)=h(x)/g(x)，因而α(x)是一个循环级数，α(x)的周期等于g(x)/d(x)的周期，其中d(x)=(g(x)，h(X))。若g(x)是可约的，则α(x) 的周期还依赖于所给的初态。若 g(x)是不可约的，从任一非零初态出发得到的α(x)有同一周期，即g(x)的周期。反之，任给一个n次多项式g(x)，且g(0)=1，则可以造出一个非退化 n位线性反馈移存器序列使得它的功能由g(x)所确定。

应用n次本原多项式可以造出周期最长的n位线性反馈移存器序列。

参考书目
  1. L.Dickson，Linear Algebraic Groups， with an Exposition of the Galois Field Theory， Dover，NewYork， 1958.
  2. A.Albert，Fundamental Concepts of Higher Algebra， Univ. of Chicago Press， Chicago， 1956.
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