数系

通常指包括自然数(正整数)、整数、有理数、实数和复数的系统。这些数之间的关系如下表:

数的观念具有悠久的历史,尤其是自然数观念,其产生当在史前时期,详情已难于追索。但对数系建立严谨的理论基础,却在19世纪下半期才完成。

自然数

建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。事实上,英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus(石卵)演变来的。中国古籍《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这些都是匹配计数法的反映。

如果两个集合之间能建立一个一一对应,就说这两个集合是对等的。称对等的集合具有相同的基数。如果一个集合不可能对等于它的任何真子集,则称为有限集。非空有限集的基数,就是自然数。由此能通过集合的并、积运算定义自然数的加法与乘法(见算术)。

基数理论依据的是一一对应原则。另一方面,为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数,就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应;所对应的最后的项,就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致自然数的序数理论,它是G.皮亚诺于1889年建立的。

皮亚诺从不加定义的“集合”、“含有”、“自然数”与“后继”等词出发,规定自然数集满足下列五条公理:

(1)1是自然数。

(2)1不是任何其他自然数的后继。

(3)每个自然数都有一个后继(记α的后继为α┡)。

(4)α┡=b)┡蕴涵α=b)。

(5)设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有α蕴涵S含有α┡,则S含有任何自然数。

最后这条公理就是熟知的数学归纳法公理。

一切自然数的集记为{1,2,3,…, n,…},简记为N

从上述公理出发,可以证明,对任何自然数αb,存在惟一的自然数α+b,满足α+1=α┡,α+b┡=(α+b)┡。α+b)称为αb的和,相应的运算称为加法。加法满足交换律与结合律。类似地,对任何自然数αb,存在惟一的自然数α·b,满足α·1=αα·b┡=α·b+αα·b(记α·bαb)称为αb的积,相应的运算称为乘法。乘法也满足交换律与结合律,加法与乘法满足分配律。

对自然数集可用下述方法定义一个全序。设αb是自然数,如果存在自然数с,使得α=b+с,则称α>bb<α

整数

在自然数集N 之外,再引入新的元素0,-1,-2,-3,…,-n,…。称N 中的元素为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,…为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

零不仅表示“无”,它在命数法中还具有特殊的意义:表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算,空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的零(sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

中国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的“正负术”,就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程α+x=b),如果αb)是自然数,则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。

关于整数系的严格理论,可用下述方式建立。在N×N(即自然数有序对的集)上定义如下的等价关系~:对于自然数有序对(α1b1),(α2b2),如果,就说(α1b)1)~(α2b)2),N ×N 关于上述等价关系的等价类,称为整数。一切整数的集记为Z。

pq∈Z,(αb)∈p,(с,d)∈q,则定义pq为(α+с,b+d)所在的等价类,pq为(αс+bdαd+bс)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的整数pq,方程p+x=q有惟一的整数解,记为q-p。这种运算称为减法,它是加法的逆运算。

设(αbp,如果α>b,则称p为正整数;如果α=b,则称p为零;如果α<b,则称p为负整数。设pq∈Z,如果p-q是正数,则称p>qq<p。这样就能在整数系中建立一个全序。

令自然数n对应于(n+1,1)所在的等价类,就把自然数集嵌入到整数集中。把(n+1,1)所在的等价类仍记为n。把(1,1)所在的等价类记为0,把(1,n+1)所在的等价类记为-n,就有Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}。

有理数

埃及人约于公元前17世纪已使用分数。中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q(p≠0),如果pq是整数,则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解,就有必要把整数系扩大成为有理数系。

关于有理数系的严格理论,可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义如下的等价关系:设,如果p1q2=p2q1,则称(p1q1)~(p2q2)。Z×(Z\{0})关于这个等价关系的等价类,称为有理数。(pq)所在的有理数,记为。一切有理数的集记为Q。令整数p对应于即(p,1)所在的等价类,就能把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p

为有理数,则定义为(ps+qrqs)所在的等价类,为(prqs)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的有理数α,β,方程α+x=β,αx=β(后者要求α≠0)恒有有理数解。第二个方程的解,称为α除β所得的商,相应的运算称为除法。除法是乘法的逆运算。Q 关于加法与乘法构成一个域,称为有理数域。

如果pq是正整数,则称α是正的,记为α>0。于是仍可用α>β当且仅当α-β>0来规定Q上的全序。这个全序满足:α>β蕴涵α+γ>β+γ;α>0,β>0蕴涵αβ>0;给定α>0,β>0,存在正整数n,使得β<nα。最后的陈述称为阿基米德性质。这样,Q是一个阿基米德有序域。

实数

为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量(例如速率、力的大小),人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530年,毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度(即)不能是有理数。

除了同类量可以相加外,上述这些量的另一显著特征是任一量能不断分割。这种“无穷可分性”,是实数系连续性的体现。

实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流,使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论,尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面,K.(T.W.)外尔斯特拉斯(1859年开始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)与G.(F.P.)康托尔(1872)作出了杰出的贡献。

大体说来,构造实数系有两条途径,一是戴德金的途径,另一是G.康托尔等人的途径。

康托尔实数论的出发点,是有理数的基本序列。设是有理数序列。如果对每个正有理数r,存在自然数N,使当nmN 时,有,则称所给序列为一个基本序列,又称柯西序列。设是有理数的两个基本序列,如果对每个正有理数r,存在自然数N,使当nN时,有则称这是一个等价关系。有理数基本序列的集关于这个等价关系的等价类,称为实数。一切实数构成的集,记为R。对有理数α,令序列{α,α,…}所在的等价类(仍称为有理数α)与之对应,就能把有理数集嵌入于实数集中。不是有理数的实数,称为无理数。

xy是实数,则定义x+y所在的等价类,xy所在的等价类。实数集关于这样定义的加法与乘法构成一个域。

对于实数x,如果存在正有理数r与自然数 N,使当nN 时,,则称x为正的,记为x>0。于是又可用x>y当且仅当x-y>0来定义R上的一个全序。类似于QR也是阿基米德有序域。

由实数构成的基本序列必有极限(柯西准则)。这称为实数系的完备性。

戴德金实数论的出发点是有理数的划分。设ABQ的非空子集。如果Q=AB,且对任何α∈AβB,必有α<β,则称(AB)为Q 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的任一划分(AB),或者A有最大元,B无最小元;或者A无最大元,B有最小元;或者A无最大元,B无最小元。第一、第二两种情形实质相同,此时称(AB)定义一个有理数。在这两种情形下,令A的最大元或B的最小元对应于(AB),就使有理数集自然地嵌入到实数集中。

对于实数x=(A1B1),y=(A2B2),如果A1A2,则定义为xy。定义,其中。如果x≥0,y≥0,则定义,其中。其余情形的乘积由符号法则规定,例如当x≥0,y<0时,定义xy=-(x(-y))。在这样的定义下,一切实数构成一个阿基米德有序域。

对于实数系R的任一划分(AB),或者A有最大元,B无最小元;或者A无最大元,B有最小元。这表明对实数系再加以划分已不能产生新的数。这就是实数系的连续性。

由此可见,实数系可定义为具有完备性或连续性的阿基米德有序域。(见实数)。

复数

从16世纪开始,解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。G.卡尔达诺在《大法》(1545)中阐述一元三次方程解法时,发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复根,例如笛卡儿。事实上“虚数”这一称呼就始自笛卡儿。关于复数及其代数运算的几何表示,是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了“复数”这一名词。

由实数定义复数的方法很多。例如,称实数的一个有序对(xy)为一个复数。加法与乘法分别定义为一切复数的集C 构成一个域,令实数x对应于(x,0),就使实数域嵌入于复数域中。y≠0的复数(xy),常称为虚数。(0,1)称为虚数单位,记为i。(见复数)

参考书目
  1. 艾·兰道著,刘绂堂译:《分析基础》,高等教育出版社,北京,1958。(E.G.H.Landou,Grundlαge der Analyse,Akademischer Verlag, Leipzig, 1934.)

参考文章