度量空间

代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶,德国数学家G.康托尔创立了集合论,为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。具体说来,如果X是一集合,d是定义在X×X上的非负实值函数,使得对任何xyzX有:

(1)dxy)=0的充要条件是x=y

(2)dxy)=d(yx);

(3)d(xz)≤d(xy)+d(yz)。这时便称X是一个度量空间,d(xy)称为xy之间的距离。

下面是几个度量空间的例子。

欧氏空间Rn

由所有的 n元实数组(x1x2,…,xn)构成集合RnRn中元素x=(x1x2,…,xn)与y=(y1y2,…,yn)之间的距离定义为

希尔伯特空间H

其中R表示实数集合。定义元素x=(x1x2,…,xn,…)及y=(y1y2,…,yn…)之间的距离为

贝尔空间B

B={(x1x2,…,xn,…)│(xnRn=1,2,…)}对于两个不同的元素x=(x1x2,…,xn,…)及y=(y1y2,…,yn,…),用m(xy)表示满足 xnyn的最小标号n,定义xy之间的距离为 ;再规定d(xx)=0(xB)。一般假设Ω是任意一个集合,取X={(x1x2,…xn,…)|xnΩ),可以按同样的方法定义m(xy)与d(xy),得到的度量空间也称作贝尔空间。

函数空间

处理分析问题时,根据具体情况需要可以引入种种函数空间。例如,考虑定义于闭区间[0,1]上的一切连续实值函数的集合,就可以定义两个函数ƒg的距离为

对于度量空间X,可以利用它的度量d 引进一个拓扑结构,其基的元就是所有的开球B(xr)={yxd(xy)<r}。这种拓扑结构称为由度量d 产生;同一集合上,不同的度量可以产生相同的拓扑结构。例如,对于实数集R d(xy)=|x-y|与就产生同一个拓扑结构。度量不是拓扑概念。

完备度量空间

在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念:xnx0就是指dxnx0)。点列{xn}称为柯西点列,是指对任意正实数ε,都存在自然数N,使得mnN时有。可以证明收敛点列一定是柯西点列,反过来并不成立。每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如,完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在惟一性定理。度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间,称作X的子空间。如果每个开球{xXd(x0x)<r}都含有Y 的点,便说YX 的稠密子空间。

完备化定理

每一度量空间X 都是另一完备度量空间X的稠密子空间,而且XX惟一构造出来。例如,实数直线就是有理数集的完备化,20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。

可以证明:在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集。

可度量化拓扑空间

度量空间具有许多良好性质,例如,它满足第一可数公理,它是豪斯多夫空间,正规空间,还是仿紧空间。此外对度量空间而言,紧致性等价于下列三条中的任一条:

(1)任何可数开覆盖都有有限子覆盖;

(2)每一无限子集都在空间中有聚点:③每一点列都有收敛子列。紧度量空间一定满足第二可数公理从而必是可分的。实际上对于度量空间而言,可分性与第二可数公理等价。因此,一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑?这是拓扑空间理论的重要问题,称作度量化问题。50年代長田潤一。ю.М.斯米尔诺夫以及R.H.宾得到了可度量化问题的重要结果。例如,拓扑空间可度量化的充要条件是:它是T1正则空间,且具有一个基,其中每个Bn都是局部有限的开集族。