不定方程

[拼音]：buding fangcheng

[外文]：indeterminate equation

数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。近十多年来，这个领域更有重要进展。虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

一次不定方程

最简单的一次不定方程是二元一次不定方程

(1)

式中α₁，α₂，n是给定的整数，α₁α₂≠0。

在17世纪，已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α₁，α₂)能整除 n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。

设(α₁，α₂)=1，则(1)的全部整数解可表为

(2)

式中x₀，y₀为(1)的一组解，t为任意整数。称(2)为方程(1)的通解。

一般地，s(s≥2)元一次不定方程是指

　　(3)

式中α_i(i=1，…，s)，n都是给定的整数，α₁α₂…α_n≠0。

与二元的情形类似，方程(3)有整数解的充分必要条件是(α₁，α₂，…，α_s)能整除n。

方程(2)的通解含一个参数，方程(3)的通解含s-1个参数。例如，在s=3时，设(α，b，с)=1，(α，b)=d，α=dα┡，b=db┡，不定方程

(4)

的通解可表为

式中x₀，y₀，z₀是(4)的一组解，u₁、u₂满足，t₁、t₂为任意整数。

设α₁>0，α₂>0，(α₁，α₂)=1，考虑方程(1)的非负整数解。19世纪，J.J.西尔维斯特曾经证明了：在n>α₁α₂-α₁-α₂时，(1)有非负整数解，但在时，(1)没有非负整数解。

设α_i>0(i=1，2，…，s)，（α₁，α₂，…，α_s）=1，考虑式(3)非负整数解x_i≥0(i=1，2，…，s)。容易证明，存在仅与α₁，α₂，…，α_s有关的数，当时，(3)有非负整数解。求出的最佳值，就是著名的弗罗贝尼乌斯问题。当s=2时，已知，对于s≥3时，近几十年来，国内外均有不少工作，特别对s=3的情形，已找到多种计算的方法。

5世纪末，中国数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里提出的“百鸡问题”，就是求方程组

的正整数解问题，它是一个一次不定方程组。一次不定方程组可用消元法化为一次不定方程求解。一般的整系数线性方程组可写为

　 　 　(5)

式中 m≤s，设(5)的系数矩阵及其增广矩阵分别为A 和B：

。

(5)有整数解x_j（j)=1，2，…，s）的充分必要条件是D_i=D媴(i=1，2，…，m)，其中 D_i，D媴分别表矩阵A和B中诸i行i列子式的最大公因数。当s=m，│A│>0时，(5)有整数解的充分必要条件是，对于│A│的任一个因数M，同余式组

有解。对于n_i=0(i=1，2，…，m)，即齐次的情形，当1≤m<s时，用抽屉原理可证，此时(5)有不全为零的整数解 x_j，(j=1，2，…，s) 且满足(j=1，2，…，s)，这里(j=1，2，…，m)。

商高数

满足不定方程

(6)

的正整数，叫做商高数（勾股数），也叫毕达哥拉斯数。

中国古代数学书《周髀算经》中曾经提到“勾广三、股修四、径隅五”这个三边都是正整数的直角三角形，因此，已经知道方程(6)的一组正整数解x=3， y=4，z=5。古希腊数学家毕达哥拉斯也给出了方程 (6)的一些正整数解。至少在16世纪以前，已经给出了方程(6)的全部正整数解。若(x，y)=d，由(6)有d│z，故可设(x，y)=1，此外，显然x和y一奇一偶。可证不定方程(6)满足(x，y)＝1，2|x的全部正整数解可表为x=2αb，y=α²-b²，z=α²+b²，式中α、b为任意整数满足α>b>0，(α，b)=1，2凲α+b。

在17世纪，上述结果曾给P.de费马很大影响，导致他提出了在数论发展史上非常重要的三个定理。

（1）每一个形如4k+1的素数p可惟一地表成两个正整数的平方和，即p=x²+y²，0<x<y。

（2）每一个正整数能够表成四个整数的平方和。

（3）不定方程

　　　　(7)

没有xy≠0的整数解。

对于第一个定理，费马说他能够用无限递降法证明，但未发表。第一个完全的证明是L.欧拉在1749年给出的，他在1773年和1783年又给出了更好的证明。特别是近代，有人把x，y具体表示了出来：，其中r，n满足勒让德符号。

关于第二个定理，费马的证明仍未被发现。1772年，J.-L.拉格朗日给出了第一个证明，一年后，欧拉给了一个更简单的证明。由于形如8k+7的数不能表成三个整数的平方和，因此，这是一个很完美的定理。而且，这个定理也是非常有用的，例如在组合数学里的阿达马矩阵的构造中就要用到。

费马给出了第三个定理的证明。他证明这个定理所创造的无穷递降法至今还很有用。如果 (7)有一组整数解x₀，y₀，z₀，x₀y₀≠0，可设z₀>0，利用方程(6)的整数解公式，可以得出(7)的一组新解x₁，y₁，z₁满足x₁y₁≠0，z₀>z₁>1，这个方法可以继续下去，从而得到一个无穷的、严格递降的正整数序列z₀>z₁>z₂>…，因为z₀是一个确定的正整数，这当然是不可能的。

有一个关于商高数的猜想：设α、b、с是商高数，x、y、z是正整数，且满足，那么x=y=z=2。对这个猜想，有过许多工作，但仍未彻底解决。

佩尔方程

二次不定方程中，最简单的也是最重要的方程是佩尔方程。佩尔方程是指不定方程

(8)

式中整数D>0不是平方数。

人们最先考虑的是N=1的情形，即不定方程

(9)

J.佩尔是 17世纪的英国人，对方程(9)他并没有做什么工作，由于L.欧拉弄错了才冠以他的名字。1766年前后，J.-L.拉格朗日首先证明(9)有y≠0的整数解。

设x₀>0，y₀>0是方程（9）的所有x>0，y>0的解中使最小的那组解，称x₀，y₀为(9)的最小解，则(9)的全部整数解x、y，由表出，其中n是任意整数。

只需要求(9)的最小解，它的全体解x、y也就表示出来了。最小解也可以定义为方程(9)的整数解x>0，y>0中使x最小或使y最小的解。因此，寻找(9)的最小解可以用验算的方法，令y=1，2，3，4，…，直到1+Dy²是一个完全平方时即可求出。然而，这种方法有时计算十分冗长。例如，x²-94y²=1的最小解是x₀=2143295，y₀=221064。也可把展成连分数，那么的渐近分数p_n/q_n中，一定有k使x₀=p_k，y₀=q_k。如果ζ、η都是正整数，满足(9)，且有，则ζ、η是(9)的最小解。

对于不定方程(8)，很明显，在N=-1时，如果D含有4k+3形状的素因数，就无整数解。但是如果它有一组整数解，就有无穷多组解。可类似（9）那样定义它的最小解。如果它有最小解 x＝α，y ＝b，那么它的全部解由给出，其中n是任意整数，且，x₀、y₀为(9)的最小解。

(8)在N=±4时，有类似的结果。

求出佩尔方程最小解的上界，是一个重要问题。设，D呏0或1(mod 4)是（8）在N=4时的最小解，1918年，F.舒尔证明了。1942年，华罗庚证明了。1964年，王元证明了对任意 δ>0，皆有常数 C＝C(δ)，当 D>C（δ）时有。

佩尔方程有许多应用。一般的二元二次方程如果有解，都可归结为佩尔方程的求解问题，甚至某些二元三次或四次的不定方程也用到它。佩尔方程一个直接的应用是可以证明：在实二次域 中有一个单位数η存在，使得中的任一单位数皆可表为±ηη，ⁿ为整数，η叫的基本单位数。

二元二次不定方程

一般的二元二次不定方程可写为

　　　(10)

式中α，b，с，d，e，ƒ都是整数。

设D=b²-4αс>0，D不是一个平方数，，C.F.高斯用佩尔方程证明了在上述条件下，若(10)有一组整数解，则有无穷多组整数解。不定方程(10)可用变换的方法归结为不定方程

　　　(11)

不妨设其中整数D>0不是平方数，N是一个正整数。1944年，T.内格尔用初等方法，完全决定了方程（11）的解。设（u，v）和（u₁，v₁） 是方程（11）的两组解，若，这里s、t是方程(9)的一组解，则称(u，v)和(u₁，v₁)属于同一结合类。设x₀、y₀是与(11)具有相同D的(9)的最小解，则不定方程x²-Dy²=N的解的每一个结合类中，有一个解（u，v）满足;不定方程x²-Dy²=-N 的解的每一个结合类中，有一个解(u，v)满足，这就证明了类数有限，且每一类中的全部解均可表为，n是任意整数。

不定方程αx²+by²=сz²

1785年，A.-M.勒让德证明了：若不定方程

(12)

的系数满足 α>0，b>0，с>0，且两两互素，都无平方因子，则(12)有一组不全为零且(x，y，z)＝1的解x，y，z的充分必要条件是bс，αс，-αb分别是α，b，с的二次剩余。1950年，L.霍尔泽运用代数数论证明了（12）的非零解满足。1969年，莫德尔给出了霍尔策结果的一个简单的初等证明。不定方程(12)在组合数学的差集理论中有用。

莫德尔方程

设k为整数，不定方程

(13)

叫做莫德尔方程。

三个世纪以来，对不定方程(13)的研究从未停止过，众多的数学家运用各种方法研究方程(13)的整数解或有理数解。这些工作丰富和发展了数论的内容。17世纪，P.de费马宣布他发现一个美妙而精巧的方法，证明了方程y²=x³-2仅有整数解x=3。和他的许多定理一样，他的证明始终没有被发现。直到1875年，T.佩平给出了一个完全的证明：因为x扝0(mod2)和中代数整数的惟一分解定理成立，故，这里α、b是整数，因此b(3α²-2b²)=1推出b=1，α=±1，x=3。用同样的方法可证明方程y²=x³-1仅有整数解x=1。1912年，莫德尔由于给出方程(13)的一系列新结果，而获得英国剑桥大学颁发的史密斯奖。1918年，他还证明了方程(13)仅有有限组整数解。由于对方程(13)有理数解的研究，引导莫德尔对更一般的曲线上的有理点的研究。1922年，莫德尔猜想：在亏格大于1的代数曲线上仅有有限个有理点。1983年，德国数学家G.法尔廷斯证明了莫德尔猜想，这无疑是20世纪数论中最杰出的工作之一，荣获1986年国际数学家大会的费尔兹奖。对于有的k值，方程(13)有时很难解。1930年，T.内格尔证明了方程(13)在k=17时，有8组解：(x，y)=(-2，3)，(-1，4)，(2，5)，(4，9)，(8，23)，(43，282)，(52，375)，(5234，378661)。1963年，W.永格伦完全解决了k=-7，k=-15两种情形。1968年，A.贝克证明了方程(13)的整数解满足

图埃定理

1909年，A.图埃证明了一个重要结果：设n≥3，是有理数域上一个不可约的整系数多项式，则不定方程

，(14)

仅有有限多组整数解x，y，式中с是给定的非零整数。

这个定理的证明依赖于下列的结果：设θ是一个次数n≥3的整系数不可约多项式的根，则只有有限组整数x，y>0适合 。这个不等式，C.L.西格尔在1921年作了改进。1958年，K.F.罗特给出了最佳结果。如何定出方程(14)解的个数，特别是如何有效地把解计算出来，一直是数学家们研究的主要问题。1921年，Б.Η.德洛涅证明了不定方程

(15)

最多只有一组x≠0，y≠0的整数解。如果x₁、y₁是一组解，那么是三次域Q（）的基本单位数或是基本单位数的平方。1938年，永格伦证明了如果某些二次域或四次域的基本单位数能够决定，那么，不定方程Ax⁴-By⁴=C的全部整数解也能定出，这里A、B是正整数，C=1，2，4，8或16。

运用丢番图逼近论的方法，1968年，A.贝克给出了方程(14)解的一个可计算的上界。他还定出了另外许多类不定方程解的上界。贝克的出色工作，曾得到1970年的费尔兹奖。

四次方程αy²=bx⁴+с

对于不定方程

(16)

1942年永格伦证明了， 方程(16)仅有正整数解（x，y）=(1，1)或(239，13)，但证明很繁，同年他还分别证明了不定方程

(17)

最多有两组正整数解。以及不定方程

(18)

最多有两组正整数解，且当解存在时，可有效算出。

对于方程（17）、（18）和方程x³+b³=Dy²(b=±1，±2)，永格伦、J.H.E.科恩、柯召和孙琦等，还曾用初等的方法解决了其中某些情形。

费马大定理

用不定方程来表示的费马大定理是：设n>2，不定方程

(19)

没有xyz≠0的整数解。

1637年，费马声称他已经证明了上述定理，然而他的证明始终未被发现。300多年过去了，这个定理至今未能证明，也无法否定。于是后人有把它称为费马最后定理、费马猜想或费马大问题等。一般倾向性的看法是，费马那个未曾写出来的证明是错的。历史上，曾有许多优秀的数学家为了证明这个定理， 付出了巨大的精力。为了证明费马大定理，只需证明方程，(x，y)=1和方程，(x，y)=(x，z)=(y，z)=1（p是一个奇素数）均无xyz≠0的整数解。费马本人证明了p =3的情形，但是，这个证明不完全。1823年，A.-M.勒让德证明了p=5的情形，1839年，G.拉梅证明了p=7的情形，可见进展相当缓慢。以后，数学家们把费马大定理中p凲xyz叫做费马大定理第一情形， 把 p|xyz叫做费马大定理第二情形。用初等方法可以证明当2p+1，4p+1，8p+1，10p+1，14p+1，16p+1之一为素数时，费马大定理第一情形成立，由此可推出p<100时，第一情形成立。1847年，E.E.库默尔对于费马大定理作出了突破性的工作。设，h是分圆域Q(η)的类数， 当p凲I>h时，p叫做正规素数。库默尔证明了当p是正规素数时，费马大定理成立。通过计算，对于小于100的奇素数中，除开p=37，59，67以外，都是正规素数。在1847年以后，库默尔继续对分圆域进行深入的研究，从而证明了p=37，59，67时，费马大定理成立。库默尔为了补救一般分圆域中整数环的惟一分解定理不成立而创造的理想数论，丰富和发展了代数数论。在近代数学家中，H.范迪维尔继续库默尔的工作，20世纪初到50年代，对费马大定理进行了大量的工作，进一步得到了一些使费马大定理成立的充分条件。还有一些工作是利用大型电子计算机加上精巧的方法来探索费马大定理。例如1976年，S.S.瓦格斯塔夫证明了p<10⁵时，费马大定理成立。1977年，G.泰雅尼昂用柯召解决不定方程x²-1=y^p的想法，证明了n=2p时，若费马大定理成立，则2p|x或2p|y。1983年，G.法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而推出方程，对于给定的n(n>3)，仅有有限组非平凡解。

卡坦朗猜想

称α^m为正整数的乘幂，其中α是正整数，m是大于1的整数。E.卡坦朗在1842年猜想：除开 8＝2³，9=3²外，没有两个连续数都是正整数的乘幂。用不定方程的形式，可写猜想为：不定方程

(20)

除开p=2，x=3，q=3，y=2外，没有其他的正整数解。

实际上，可以进一步假定方程（20）中p≠q。q=2的情形，在19世纪早已证明。比较困难的是p=2的情形，直到1962年，柯召给出了一个初等而简练的证明，其证明方法也是富有启发性的。即他证明了不定方程x²-1＝y^p（p>3是一个奇素数）无正整数解。1961年前后，柯召和J.W.S.卡斯尔斯分别独立地证明了没有三个连续数都是正整数乘幂这一著名的弱型卡坦朗猜想。R.特艾德曼证明了：存在可计算的绝对常数с，方程x^m＝yⁿ+1（x，y，m，n皆≥2）的整数解适合于x^m<с。近来，还可以算出logloglogс<1000。

当前，不定方程中比较成熟的方法是处理二个变元的不定方程。三个变元以上的高次不定方程，常常是很困难的。1960年，柯召和卡斯尔斯分别独立地证明了不定方程x³+y³+z³=xyz无xyz≠0的整数解，从而证明了W.谢尔平斯基认为是很难的一个猜想：不存在三个有理数，它们的和与积都等于1。有的看来很简单的不定方程，如等，实际上都不易解决。

又如下列这个没有加减号的不定方程

(21)

P.爱尔特希曾猜想它无整数解。1940年，柯召证明了在(x，y)=1时，这一猜想是成立的。同时给出在 (x，y)>1时含有一个参数的偶数解。是否存在一组奇数解？迄今尚未解决。另外，C.安德森猜想不定方程

　　 　　　 　(22)

没有x>1，y>1，z>1的解。1964年，柯召和孙琦给出了方程(22)的无穷多组非平凡解，从而否定了这一猜想。

参考书目

1. L.J.Mordell，Diophantine Equations， Academic Press，New York，1969.
2. 柯召、孙琦著：《谈谈不定方程》，上海教育出版社，上海，1980。
3. L.E.Dickson.History of the Theory of Number，Vol. 2， Carnegie Institution of Washington，Washington，1920.
4. P.Ribenboim，13 Lectures on Fermat's Last Theorem，Springer-Verlag，New York，1980.