[拼音]：shuxue jichu
[外文]：foundations of mathematics
从事数学奠基的数学研究。
数学基础学家要根据他们的数学观，即“什么是数学”、“什么是数学的基础”等问题的回答，以及他们对数学方法、数学概念、数学命题、数学理论的看法来进行奠定数学基础的工作。数学基础学家要根据他们对数学真理的性质的看法，根据他们的数学哲学来作研究。由于各家数学观的不同，在长期的争论中形成了不同的数学基础学派。尽管如此，人们在从事这一领域的研究工作中所取得的数学成果却应当或至少企图为数学基础学家所公认，为一切数学家所公认。这是问题的一方面。问题的另一方面，数学基础学家对于所有的成果又都是依照自己的数学观来作解释的。因之，数学基础学可以看成是由两部分组成：一是数学基础研究中形成的数学，在20世纪逐步形成了数理逻辑的几个重要分支；二是数学基础学家由这些成果得出的数学观。
数学哲学与数学基础学不同。前者是数学的哲学，是哲学，不是数学。后者是数学，不是哲学。但是，在数学基础的研究中，人们往往是从不同的哲学观点出发来研究数学中具有普遍性和本质性的问题，并从而形成和发展自己的数学哲学观点，乃至形成不同的数学哲学学派。因此，数学基础的研究常常涉及数学哲学的内容，而数学哲学的研究不能不涉及数学奠基问题。所以，它们之间的关系相当密切。数学哲学较多地涉及数学思想史、哲学史和哲学家的观点，而数学基础则更多地涉及数学家的数学工作、数学观和他们对数学基础研究成果的理解；不论他们自己愿意把他们的数学观溯源到以往什么哲学，他们的数学观总不能违背数学基础研究的数学成果，因之他们的观点必然随着数学的发展而变化。
20世纪上半叶，在数学基础的论战中被讲得最多的有三个学派，即逻辑主义、形式主义和直觉主义。
逻辑主义逻辑主义认为数学就是逻辑，奠定数学基础的工作就是把数学从一个逻辑系统中推导出来。也就是说，按照逻辑主义的主张，数学概念都可以借逻辑概念由定义给出；数学定理都可以由逻辑公理用逻辑规则推出。这样，他们认为全部数学就可以由逻辑推导出来。
在数学基础的文献中，一般都把B.A.W.罗素作为逻辑主义的代表人物，并常将（F.L.）G.弗雷格与罗素合称为逻辑主义者。而A.N.怀特海与罗素合著的《数学原理》一书则被公认为逻辑主义的代表作。在这一巨著中，作者从逻辑演算出发再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格地推导了出来。故而罗素曾在书中宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细地做了出来。”但是，事实并非如此。作者在书中从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可或缺的，否则不能完成。所以，作者并未将数学化归到逻辑，而是化归到集合论。但是1937年罗素在写《数学的原理》第二版导言时，还坚持数学就是逻辑，并进一步表示，无穷公理和选择公理都是逻辑公理，没有必要改变他“数学就是逻辑”的观点。怀特海在1939年12月的讲演中显示了放弃逻辑主义的观点。
数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点；同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。但是，尽管如此，怀特海与罗素合著的《数学原理》一书在20世纪的科学发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志符号逻辑方法的成功，并显示了数学的逻辑基础研究的意义。因而进一步地显示了现代逻辑的科学意义。
《数学原理》一书不失为一部名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观虽不能为数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们的活动推动了大量的新见解和新知识的出现，并且形成了象类型论（见集合论公理系统）这样的逻辑体系，这些对于数学的发展是积极的，影响很大。
形式主义D.希尔伯特的数学观和数学基础观，常被人们称作“形式主义”，这是不妥当的。
罗素和L.E.J.布劳威尔是称希尔伯特为形式主义者的代表人物，他们是指希尔伯特奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。他也没有自称是形式主义者的那种主张。P.贝尔奈斯就不认为希尔伯特是形式主义者。
希尔伯特要保卫经典数学和经典的数学方法，并且发展它们。他认为，经典数学，包括由集合论的出现而发展起来的新的数学方向，都是人类最有价值的精神财富;数学中的公理方法和逻辑推理(包括使用经典逻辑中的排中律)就象天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。希尔伯特根据自己的数学观提出了奠定数学基础的希尔伯特计划。希尔伯特计划的主要思想是：奠定一门数学的基础，应该严格地、数学地证明该门数学的协调性(即无矛盾性或一致性、相容性)；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。希尔伯特的研究工作得到贝尔奈斯很大的帮助，《数学基础》一书就是贝尔奈斯执笔的。他忠实地按希尔伯特计划完成了这一著作，并发展了希尔伯特的思想。因之，希尔伯特的数学基础思想可以称作“希尔伯特主义”、"希尔伯特－贝尔奈斯主义"或“格丁根数学基础学派”。
希尔伯特原来设想，数学的协调性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究结果表明，这个范围应当加以扩充。K.哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。这定理说明了希尔伯特的原计划是不能成功的。但是基于希尔伯特的数学基础思想却发展出了数理逻辑中的证明论分支。可是希尔伯特并没有60～70年代中自称形式主义者那样的思想。
形式主义的代表人物有A.鲁宾孙（非标准分析的发现者，模型论的创立者之一）和P.J.科恩（连续统假设和选择公理独立性的证明者）等人。
形式主义者认为：在现实世界中不存在数学研究的对象。比如，以N表示所有自然数构成的集N={0，1，2，…}，我们不能说N存在。同样地，说“N中包括所有的偶数”是没有意义的，因为这话涉及到N 这一无穷整体。再如，假定以戴德金切(Dedkind cut)来定义实数，我们就不能说
这个数是存在的，因为据定义是一个戴德金切，定义中用到了无穷整体。按形式主义者的观点，严格意义下的“存在”，“
”等等，都是没有意义的。他们否认无穷整体的存在，但在进行研究和工作时，又把它们当作“好象是真的存在”着。
形式主义者还认为，数学是研究推理或形式推理的，即从一定的形式前提(公理)，按照演绎推理的规则，把一定的语句作为数学定理推导出来。他们认为，一门数学就是一个形式系统，即一个符号系统。把形式前提表作具有一定形式的符号排列（符号串），把推理规则表作具有某种形式的符号排列之间的形式关系。按他们的观点，数学应看作是一种纯粹的符号游戏。对这种游戏的惟一要求是，从形式前提（形式公理）推导不出矛盾。比如，按形式主义的观点看，集合论只是一个协调的形式系统。集合论中的定理只是一种特定的符号串。象集合论中的连续统那样的无穷整体，客观上是不存在的。
根据科恩的研究，可以肯定，存在无穷多个ZF集合论公理系统的模型，其中每两个模型中连续统的势都不相同。关于这一点，科恩论证说，正象平行公理成立的欧几里得几何之外，还有平行公理不成立的非欧几何那样，除了连续统假设成立的“康托尔集合论”之外还可以有连续统假设不成立的“非康托尔集合论”！他们认为，既然可以存在各种不同的非康托尔集合论，那么关于肯定连续统假设是否是真，还有什么意义呢？数学对象客观性的主张，据形式主义者看，是不成立的，按科恩的观点，他已经解决了希尔伯特第1问题即连续统问题，因为按他的观点，“连续统客观地应多么大”那样的问题是没有意义的。这种形式主义思想显然与希尔伯特的主张不同。
直觉主义布劳威尔是现代直觉主义者的代表。他的数学观包括两个方面：
（1）他对数学对象的观点，②对数学所用的逻辑的观点。布劳威尔认为纯粹数学是：“心智的数学构造自身”，是“反省的构造”。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们持有的哲学观点也无关。构造物应该怎样就是怎样，数学判断应该是永恒的真理。数学独立于逻辑和语言，数学的基础在于一种先验的原始直觉，这种直觉使人认识到作为“知觉单位”的“一”，然后通过不断的联结来创造有穷数以及无终止的无穷序列，并从而构造出各种数学对象，而且只有当我们把一个数学构造物构造出来之后，才能说，有这样一个数学对象。因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系（简称为实无穷）。无穷只是潜在的，只是无限增长的可能性，只是一个永无休止的创造过程（简称为潜无穷）。
布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑的观点；认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制地使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。布劳威尔对数学所用逻辑的观点可以进一步说明他对数学对象的观点。例如，设有两个自然数m0，n0，按通常的数学习惯对它们作以下两个定义：
（1）m0是m与m-1都是素数的那些素数中最大的素数，如果这样一个素数不存在，则m0=1。
（2）n0是n与n-2都是素数的那些自然数中最大的素数，如果这样一个素数不存在，则n0=1。
直觉主义者认为，经典数学忽视了①与②两个定义的不同。m0是可以计算出来的，即m0=3。但我们并不知道是否存在着无穷多个孪生数(即p与p+2都是素数)偶。直觉主义者否认②是一个自然数的定义。他们认为，只有把一个数计算出来(构造出来)的方法已经有了之后，才能认为这个数有了合理的定义。根据这种观点，布劳威尔否认排中律。因为，如果承认了排中律，就得承认“孪生数有穷，或孪生数非有穷”。由此，如果认为②是合理的定义，那么若孪生数有穷，n0就是最大孪生数偶中的那个较大的素数；否则n0=1。布劳威尔认为，经典数学之所以承认②是一个“合理”的定义，是出于一种哲学思想，即：有一个包含数学对象的世界，这里存在着独立于我们知识的真理。这样就使数学与哲学有关了。但是，数学是不应当与任何哲学有关的。在直觉主义者看来，数学的“存在”等同于“被构造出来”。
不同意直觉主义的人会问:照你的说法，假定于2000年1月1日证明了孪生数无穷，那么，是否到了那一天②就突然成为一个定义，且n0=1?而在这一天之前n0就不是1呢?这是发展了布劳威尔维度理论的K.门杰于1930年对直觉主义提问的大意。直觉主义者的回答是：数学所肯定的是某种数学构造做出来了，你所说的“那一天到来之前”如何，就是这个数学构造还没有做出来。
数学界起初觉得，布劳威尔在陈述他的数学观时用词缺乏明确含义、没有严格定义，因此很难判断他的观点是否正确。布劳威尔于1907年在《数学基础》一文中比较系统地提出了他的数学基础观之后，直觉主义者作了巨大的努力，对有关概念和直觉主义数学所使用的逻辑作了严格的数学陈述。到了20世纪50年代发展出了系统的直觉主义逻辑和数学，推进了构造性数学的发展，也回答了责难者的疑问。构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。
布劳威尔从意识、美学、哲学、自然科学、语言学、逻辑学等各个角度来比较直觉主义数学与经典数学。他认为，经典数学不能算纯数学。1940年他在《意识、哲学与数学》一文中说，经典数学是用逻辑来产生定理的，相信未知真理是客观存在的，特别是用排中律来表达一个数学判断的真或不真。他对经典数学的形成作了说明。他说，人们把观察到的因果序列群的质的方面剥去（或抽象掉、或舍弃掉），得到数学的基本素材，再把它推广为一种假设，这假设就是一个包容更广、更可供研究的经典数学系统。他还在文章中说，经典数学系统中所抽象表达的因果序列，常常要在以后才有可能观察到，而目前还没有，也没有可能去观察。他在这里明显地表达了他对经典数学在科学思维、科学发展以及科学预见中的作用的看法。按布劳威尔的观点看，经典数学是重要的，但不是真正的数学。只有直觉主义的数学才是真正的数学，而且是最美的。他认为，人们一旦理解了这种数学，就会为之奉献自己的生命。他还认为，数学中严格的直觉主义数学之所以能为人们接受，比之现实生活和科学要晚得多。
布劳威尔对数学的看法，包括对直觉主义和非直觉主义数学的看法，是和他早年对自然科学的哲学观有密切联系的。他的直觉主义数学基础思想在1907年的博士论文中就已经表述得很系统，基本上已经完备，只是陈述得比较含混。1907年论文发表后约10年的时间里，他对直觉主义数学思想讲得不多，而是大力从事经典的几何、分析、拓扑与力学的研究；拓扑学方面的工作尤为重要。众所周知，他是现代拓扑学的开创者之一。从1918年开始，他按直觉主义观点对经典数学进行系统的改造。结果表明，有些数学证明是不能改造的。布劳威尔在经典数学方面的造诣是公认的。如果对这方面没有充分的认识和深厚的功力，即令一个数学证明可以按直觉主义的要求改写，也是难以成功的。1927年以后，他发表的论文越来越多是论战性的，这是应答不同意他直觉主义观点的学者的责询。上面提到的1940年的文章相当全面地代表了他对数学科学，包括他称之为“经典数学”和他的直觉主义数学的看法。
数学基础观点的发展在20世纪30年代之前，上述的几种数学基础观点之间有过剧烈的争论，这可以布劳威尔和希尔伯特为代表。那时，自称形式主义的观点尚未出现。
30～50年代，数学基础的数学研究取得了重大成果。特别应当提到的是哥德尔的不完备性定理(1931)和《连续统假设的协调性》(1941)的发表。这两项工作促进了希尔伯特-贝尔奈斯数学基础思想的发展。起初，希尔伯特以为，不完备性定理使他的计划不能成立，因而用以奠定数学基础的证明论就成问题了，后来与贝尔奈斯一起弄清了，情况并不如此，而是证明论所使用的构造性方法应当不断发展。哥德尔于1941年证明，如果原来的ZF集合论公理无矛盾，那么加上选择公理和连续统假设也一定无矛盾。他用了一个比ZF系统更强的系统，得到的却是证明论中很突出的结果。哥德尔的工作使希尔伯特的证明论有了进一步的发展。
在这期间，哥德尔、A.海丁等数学基础学者对直觉主义数学进行了研究，并澄清数学研究中本来就存在着构造性和非构造性两种倾向。1931年哥德尔发现，经典逻辑可以在直觉主义逻辑中表达，从而这两种数学的关系在理论上更加清楚，构造性数学有了较大的发展。按王浩的说法，构造性数学就是做的数学(mathematics ofdoing)，非构造性数学就是在的数学（mathematics ofbeing）。这很确切地反映了两种数学的本质特性。
关于连续统有多大的问题，非形式主义者认为，连续统应该多么大就只能多么大，这是有客观标准的。贝尔奈斯在1956年说，科恩研究连续统假设的独立性的结果是关于集论公理系统的证明论的，不是直接关于集合论本身的结果。换言之，贝尔奈斯认为科恩只解决了在怎样的形式系统中不能推导出表示连续统假设的公式，而没有解决集合论本身的问题，所以，不承认科恩解决了连续统问题。我们现在还不能确定连续统的势，因为我们的知识不够，随着数学知识的积累，这问题是有可能解决的。希尔伯特是一贯这样看待数学问题的。
非形式主义者认为，数学对象是独立于人的构造的(即不承认直觉主义者所说，数学是“心智的构造自身”，是反省的构造)，并且和我们对它有没有直观无关，它是独立地存在的(而形式主义者是不承认这种存在的)；数学概念必须充分清楚，即能使我们承认它是合理的，公理都是真的。他们认为，数学可以看作是结构的科学。贝尔奈斯在1975年曾明确地这样说过。希尔伯特在早年的论著中也有过这种思想。怀特海于1939年曾说过，数学是研究模式的科学（“模式”与“结构”从字源讲是相同的）。数学所研究的是理想的结构或模式，但不是随意构造出来的，是由对客观世界的抽象而得，在追求科学理想和研究问题中知道它们是客观存在的。
布尔巴基学派也有“数学是研究抽象结构”的观点。他们对数学基础的见解，与前述各流派都有不同。
关于数学对象的客观性的观点可以集中于对实无穷（如自然数集、连续统等无穷对象）的看法。非形式主义者认为，实无穷的存在要从数学本身的发展（希尔伯特，1925）以至从整个科学文化的发展中去考察（怀特海，1939，1940）。任何有穷的对象都存在一个无穷的背景，这个情况反映到数学中来就是实无穷是客观存在的。实无穷的存在关系到无穷与有穷、理想与现实、理论与实践的相互关系问题。20世纪的数学基础学者对这些大问题有过相当深入的讨论。
上面综合介绍的非形式主义各家之间的观点可能存在着或大或小的差别。但是，记录非形式主义各家言论的文献中却不曾发现他们之间有过什么争议。他们反形式主义的观点对于数学的理论与实践的基本特点是有共同认识的。
给人印象最深刻的几个数学的特点，就是确切性、抽象性与严格性，应用的广泛性，和它特有的一种美（王浩称之为“dry beauty”）。这种美是理性的美。数学的严格性和确切性在很大程度上是由于它的抽象性，也部分地说明了应用的广泛性。数学研究的对象虽然是“思想事物”(见恩格斯在《自然辩证法》中论同一性的一段话)，是与理想密切相关的（怀特海，1939），是理想的结构或模式。但是它与物理世界紧密相联。这一点非常重要，是数学的本质特点，它决定了数学不能只是符号游戏。一切科学和理论都必须严格，都具有严格性。数学与一切科学、理论中的严格性相符合，数学反映这种严格性。
数学基础观点之间的争议，到20世纪70年代末、进入80年代时，渐渐地不象过去那样剧烈了。数学基础研究中，构造性与非构造性数学之间的相互关系的问题显得十分重要，但这是数学问题。数学基础学家一般相信，这种问题的研究对于数学发展的意义是不可忽视的。
- 参考书目
- 王宪钧编：《数理逻辑引论》，北京大学出版社，北京，1982。
- ，郭士铭等译：《数学基础研究三十年：1930至1964年数理逻辑和数学基础研究发展状况讲演录》，华中工学院出版社，武汉，1983。
- P.Benacerraf and H.Putnam，ed.，Philosophy of Mαthemαtics，Selected Reαdings， Prentice- Hall， Englewood Cliffs， New Jersey， 1964.
- D.Hilbert and P.Bernays，Grundlαgen der Mαthemαtik，J.Springer， Berlin， 1934～1939.
- B.Russell，The Principles of Mαthemαtics，2nd ed.，G.Allen Unwin，London，1937.
- Wang Hao，From Mαthemαtics to Philosophy，Routledge & Kegan Paul， London， 1974.
- A.N.Whitehead and B.Russell，PrincipiαMαthemαticα，2nd ed.，Cambridge Univ.Press， Cambridge， 1962.