度规

给定时空中两个相邻事件间的时空线元,又称度量。有长度定义的空间叫度量空间,度量空间中坐标差为dxμ的两点间的距离(线元)ds用下式表示:

式中gμv 叫度规(系数),它是一个张量,故又叫度规张量。给定度规张量,空间的度量性质就完全确定了。例如,三维欧氏空间用直角坐标表示时,两点间距离的平方为:

ds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2

其度规张量为:

而用球坐标表示时为:

ds2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(d)2

其度规张量为:

有时又把用度规张量具体表示的 ds2的表达式称为度规,例如四维闵可夫斯基时空任两点间的线元平方值为:

ds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2-(dx4)2

式中dx4cdtds2表示式称为闵可夫斯基度规。度规张量为:

参考文章