基数

又称势,集合论基本概念之一,是日常用以表示多少的数的概念的推广和发展。按照G.(F.P.)康托尔的原意,集合A基数是一切与A 具有等势关系的集(即存在一个双射把集合A的全部元素映成另一集合的全部元素)的共同特征,是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果,所以用戞表示(较多用|A|)。(F.L.)G.弗雷格与B.A.W.罗素分别在1884年与1902年把戞 定义为所有与集A 等势的集所成之集,即戞={BBA}。这一定义虽然形式简单明了,但在ZFC系统中却不能证明它构成一个集合。事实上,{BB~A}对于任何非空集A,是一个真类。因为由{B|B~A}是一个集可以推出所有的集合也构成一个集,而这是著名的康托尔悖论(1899)与罗素悖论(1903)产生的根源。1928年J.冯·诺伊曼建议用一个特殊的与A等势的集,即所有与A等势的序数中最小的一个作为A的基数,这样的序数称为初始序数,根据计数定理与序数的良序性,对于任何集A,它所对应的初始序数是必定存在且惟一的。两个集AB具有相同基数的充要条件是AB,这完全符合G.康托尔的原意。当集的基数为有限序数时,称该基数为有限基数,否则称为超限基数。它们所对应的集分别称为有限集与无限集。可以证明集 A为无限的充要条件是存在A的一个真子集A1,使得A1A。与自然数集N等势的集称为可数集,它的基数是ω,但习惯上常用堗0表示。整数集Z、有理数集Q、整系数多项式Z[x]、代数数集、n 维欧氏空间En中的格子点集等都是可数集的例子。每一个无限集都存在可数子集,而可数集的任一无限子集必为可数集。在基数序的意义下,堗0是最小的无限基数,即可数集是最小的无限集。可数集与有限集一起合称至多可数集。非可数的无限集称不可数集。无理数集、超越数集、区间(αb)中的点集、[0,1]上的连续函数集C[0,1]、n维空间En的点集、定义在[αb]上的函数集等等都是不可数集的例子。

αβ为两个基数,AB为两个集,|A|=α,|B|=β,可以定义基数的大小关系及和、积、幂等运算如下:

αβ当且仅当存在一个从AB的单射;

α<β当且仅当αβαβ

αβ=|{0}×A∪{1}×B|;

α·β=|A×B|;

αβ=|AB

其中AB ={ƒ:BA}。在上述定义中,虽然形式上需要通过集AB来表述,但事实上它们都只与αβ有关,而不依赖AB的选取。即对于任何集CD,只要|C|=α,|D|=β,所得的结果就保持不变。这就保证了定义的合理性。此外和与积还能推广到任意基数列αβ(β<γ)。设β<γ时|Aβ|=αβ则可定义

对于任何基数αβ、у,下列性质成立。

(1)传递性:若αββ≤у则α ≤у。

(2)自反性:αα

(3)反对称性:若αββααβ

(4)强连结性:αββα 二者必居其一。

(5)结合律:α +(β+у)=(α +β)+у;

α (β·у)=(α ·β)·у。

(6)交换律:αββαα·β=β·α

(7)存在恒等元:0+αα;1·αα

(8)分配律:α (β+у)=α·β+α·у。

(9)同底幂的积:

(10) 幂的幂:

积的幂:

性质①~④说明基数的≤是一个全序关系,其中性质③称为康托尔-伯恩斯坦定理,它是集合论中的一个重要定理,可用以确定若干集合的基数。1895年G.康托尔给出了这一命题的等价形式:设AB为两个集合,若AB的子集B1等势,BA的子集A1等势,则AB等势;并在基数可比较的前提下给予证明。1896年F.W.K.E.施罗德在一篇论文的摘要中提到这条定理。他于1898年发表的证明虽不借助于基数的可比较性,但仍不完善。第一个满意的证明是伯恩斯坦在1898年给出的,所以有些数学家称它为施罗德-伯恩斯坦定理。性质④称为基数比较定理是选择公理的等价命题之一,最初由G.康托尔提出:设AB为两个集合,则AB的某一子集B1等势或BA的某一子集A1等势,两者必有一个成立;并用以证明性质③。1915年由F.M.哈托格斯给予证明。关于基数的序与运算的其他重要性质还有:对于任何基数k,总存在一个比k大的基数λ,即不存在最大的基数。此性质是1873年首先由G.康托尔以下述形式提出的:任何集A的幂集P(A)具有比A大的势, 即|A|<|P(A)|,故称康托尔定理。由于在集P(A)与集2A间存在自然的双射,所以这性质也可表为2x>k, 其中k=|A|。于是, G.康托尔把无限分成无限多个严格递增的等级,奠定实无限在数学研究中的地位,启迪人们提出连续统假设与广义连续统假设。他在证明中所使用的对角线方法,也具有重要的方法论意义。已经知道最小的无限基数是堗0,并用堗1表示大于堗0的最小基数,用 堗2表示大于堗1的最小基数。一般地,设α是任一序数,并且对于任何小于α的序数β,堗β均已定义,则当α 为某一β的后继序数时,规定堗α是大于堗β的最小基数,称为无限后继基数;当α极限序数时,规定,称为极限基数。这样就建立起序数与无限基数之间的一一对应关系。基数的加、乘运算具有许多通常熟悉的性质,如结合律、交换律、分配律等,但有些重要性质,例如对消律,却仅对有限基数,即自然数成立。设λk为任意基数,λk≥1,λ≥堗0,则λ·k=λ+k=λ 。这一结果与下述命题等价:对于任何无限基数 kk·kkkk,即任意k个基数为k的集合的和集,其基数为k;或者,任意不超过k个基数不超过 k的集合的和集, 其基数不超过 k。特别地,当k=堗0时, 就有任意可数个可数集的和集是可数集;或至多可数个至多可数集的和集是至多可数的。上述命题是选择公理的一个等价形式,将它深化一步, 可得:对于任何序数α成立。 把基数的运算与序相结合而得到的结果。最重要的是下述柯尼希定理:设kβλβ(β<α)是两个基数列,如果对于任何β<α,总有kβ< λβ,则。这是康托尔定理2x>k的一个推广, 并且可以证明它是选择公理的一个等价形式。

参考文章