欧几里得空间

简称欧氏空间,是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。“内积”是一个度量概念,有明显的代数性质,向量的长度和夹角都可以通过向量的内积来表示。所谓内积,是指与实数域R上向量空间E中任意一对向量uv 惟一对应的实数,这个实数记作(uv),并满足以下条件:

(1)(uv)=(vu),②③(αuv)=α(uv),④(u,u)≥0,当且仅当u=0时(u,u)=0,式中uu1u2vE 的任意向量,α是任意实数。

一个定义了内积的实数域上的向量空间,称为欧几里得空间。例如,设V是解析几何里的三维空间,uvV 的任意向量,在V 中定义(uv)=|u|·|v|cosθ,其中|u|、|v|分别表示uv的长度,θ表示uv的夹角。(uv)满足内积的全部条件, 所以V是一个欧氏空间。设R是实数域,R 上的n 维向量空间,定义,式中,则Rn成为一个欧氏空间。设E是定义在闭区间 [-1,1]上一切连续实函数所构成的向量空间,定义

式中ƒ(t)、g(t)是E中的函数。则E作成一个欧氏空间。

向量的长和夹角

欧氏空间E 的一个向量尣的长,定义为非负实数,并记作|尣|,即

欧氏空间E 的任意两个非零向量尣 和у 的夹角θ由公式cosθ=(尣,у)/(|尣||у|)来确定。这是解析几何里关于两个向量夹角的自然推广。著名的柯西施瓦兹不等式或布雅科夫斯基不等式(尣,у)≤(尣,尣)(у,у),当且仅当尣与у成比例时等号才成立,保证了上述的夹角定义的合理性。欧氏空间E 的两个向量尣与у的距离定义为|尣-у|。对于E 的任意三个向量尣、у、z,有通常关于距离的三角形不等式成立:|尣-z|≤|尣-у|+|у-z|。

标准正交基

如果欧氏空间的两个向量尣与у的内积为零,即(尣,у)=0,那么尣与у 称为正交的。在一个欧氏空间里,与解析几何的直角坐标系相类似的概念是所谓标准正交基。n维欧氏空间E的基e1e2,…,en,如果满足条件

那么e1e2,…,en称为E 的一个标准正交基,即E的一组长度为1且两两正交的基称为标准正交基。任何一个n维欧氏空间都有标准正交基。如果e1e2,…,enn维欧氏空间E 的一个标准正交基,,是E的任意向量,那么,即在一个标准正交基下,两个向量的内积等于其对应坐标的乘积之和。

欧氏空间的同构

如果两个欧氏空间EE┡,作为实数域上的向量空间是同构的,而且当尣凮尣┡,у凮у┡时有(尣,у)=(尣┡,у┡),即EE┡ 的相对应的向量的内积是相等的,那么EE┡称为同构。任意一个n维欧氏空间都与Rn同构。

酉空间

欧氏空间在复数域上的自然推广。如果V 是复数域上的一个向量空间,对于V的任意一对向量uv,有一个确定的复数(uv)与之对应,且满足以下条件:(uv) ,当且仅当u=0时等号成立,那么V 称为酉空间。这里u1u2V 的向量,α是任意复数,表示(vu)的共轭复数。由于有,所以(uu)是实数,因而(uu)≥0有意义。

在一个酉空间里,也可以把向量u的长|u|定义为,但是不能象在欧氏空间里那样来定义两个向量的夹角,因为一般说来,(uv)不一定是实数。尽管酉空间里有向量的长度概念而无夹角概念,然而仍可引入两个向量正交的概念。如果酉空间的两个向量uv的内积为零,即(uv)=0,那么uv称为正交的。在一个n维酉空间里,也可以定义标准正交基;而且任一n维酉空间必定存在标准正交基。