逻辑

一门以推理形式为主要研究对象的科学。推理是以一个或几个命题为根据或理由以得出一个命题的思维过程。作为根据或理由的那一个或几个命题是推理的前提,由前提得出的那个命题是推理的结论。

命题中有两种词项,一种是逻辑词项,另一种是非逻辑词项。如果把一个命题中的非逻辑词项都换为变项,结果就得到这个命题的形式。如果把一个推理中的非逻辑词项都换为变项,结果就得到这个推理的形式。

推理可分为演绎推理和归纳推理。对于一个正确的演绎推理形式,不论其中的变项代入任何非逻辑词项,如果前提都是真的,则结论也是真的。在此意义上,正确的演绎推理形式有必然性(见形式逻辑)。正确的归纳推理形式却不具有必然性而只具有或然性。一个应用了正确归纳推理形式的归纳推理,其或然性的大小不仅决定于它所应用的归纳推理形式,而且还决定于它对所涉及的现象的分析和这种分析所根据的知识的可靠程度。由于有两种不同的推理,逻辑就可分为以演绎推理为主要研究对象的演绎逻辑和以归纳推理为主要研究对象的归纳逻辑。逻辑按其历史发展的不同阶段,又可分为传统逻辑和现代逻辑。现代逻辑的主流是数理逻辑,它是形式逻辑的现代形式。

逻辑作为一门科学,不仅研究个别的正确推理形式,而且还研究各种正确推理形式之间的关系和提出关于正确推理形式的系统理论。亚里士多德的三段论理论,就是一个关于三段论的公理系统。现代逻辑则应用更加严格的形式系统的方法来研究逻辑,提出了许多关于逻辑系统的元定理和元理论。

词源

“逻辑”一词源于古希腊语 “λóγos”。在汉语中,“逻辑”这个名称是拉丁语系的“logic”、“logik”和“logique”的音译。亚里士多德在定义三段论时虽然曾用过 “λγos”这个希腊字,但他只是在“议论”或“论证”的意义上使用它。他没有用“λoγιχ嬭”这个希腊字表示逻辑,他是应用“αναλντικα”(意即分析或分析学)表示关于推理的理论。关于推理的理论是逻辑的核心部分,因而可以说他是用“分析”或“分析学”表示逻辑的。根据间接史料,公元前3世纪斯多阿学派的创始人基底恩的芝诺认为,逻辑包括辩证法和修辞学。但由于斯多阿学派的原始资料早已遗失,他是否真正使用过希腊文的“逻辑”这个字已无法确定。根据现有史料,公元前1世纪的M.T.西塞罗最早用“λoγιχ嬭”这个字表示逻辑。公元2世纪亚弗洛弟西亚的亚历山大也在同样意义上使用这个字。古罗马的逻辑学家则用“dialectica”表示包括逻辑和修辞的科学。中世纪的逻辑学家有时用“logica”,有时又用“dialectica”表示逻辑。经院的必修课“七艺”中的“dialectica”,就是指逻辑或包括了一些辩论术的逻辑。到近代,西方才通用“logic”、“logik”、“logique”等表示逻辑。

在中国古代和近代,曾用“形名之学”、“名学”、“辩学”、“名理”、“理则学”、“论理学”等表示逻辑。到20世纪才通用“逻辑”这一译名。

与相邻学科的关系

逻辑的相邻学科有语法学、数学和哲学。逻辑和它们之间的关系是非常密切的,甚至有些逻辑著作中或多或少地包含了它们的某些内容。

逻辑与语法学

思维形式总是应用语言表达的,特别在逻辑发展的早期总是应用自然语言表达的,因而逻辑与语法学有密切的联系。但它们仍然是两门具有不同性质的学科。传统的语法学研究自然语言中语词、短语和语句结构的规则和规律。逻辑只研究应用自然语言或人工语言来表达的命题形式和推理形式的逻辑性质。20世纪50年代在美国出现的生成语法学,应用了一些数理逻辑的方法来研究句法的结构,由有限数量的规则生成多种多样合乎语法的语句,后来又进而引入深层结构、浅层结构和语义解释等内容。但生成语法学的主要研究对象仍然是如何生成合乎语法的各种语句。大约70年代以后,有些生成语法学家开始着重研究自然语言中语句与语句之间的蕴涵关系。但这已超出了语法本身的范围,而成为一门语法和逻辑相结合的边缘科学。

逻辑与数学

逻辑与数学这两门科学之间有着深刻的联系。历史地看,古希腊的几何学是当时最严密地应用推理的一门科学,而亚里士多德的逻辑不但把当时的几何学中所应用的推理作为它的研究对象,而且还把当时几何学中所应用的公理方法作为它的研究三段论的方法。从G.W.莱布尼茨起逐渐发展起来的数理逻辑,可以看作数学与逻辑更深入地结合的结果。19世纪中期以后,大量的数学方法逐渐地被用于逻辑研究,同时逻辑的成果也被用于数学基础研究,集合论、证明论、递归论和模型论,现已成为数学和逻辑这两门科学的共同内容,而这四论中所应用的方法也已成为数学与逻辑这两门科学的共同方法。

逻辑与哲学

这两门学科的关系是复杂的。逻辑在历史上曾长期是哲学的一个部分。在现代,在哲学的宽泛意义下,逻辑和本体论、认识论、伦理学、美学一样,是哲学的组成部分。但逻辑却不属于狭义的哲学的范围。狭义的哲学的主要部分是本体论和认识论。

逻辑不同于本体论和认识论。本体论研究存在的根本性质和根本规律,认识论研究认识发展的规律和正确认识的标准。而逻辑则研究思维形式的规律,它不研究存在方面的规律,也不研究认识方面的规律。

不同的逻辑传统

逻辑所研究的正确推理形式及其规律,是任何正确认识和任何学科都必须应用和遵守的,因而是全人类共同的。正确地反映正确推理形式及其规律的逻辑,也是全人类共同的。在这个意义上,没有不同民族、不同阶级和不同个人的逻辑。但是,另一方面,逻辑作为一个知识体系,总是某一时代、某一民族和某些个人的产物,因而就不可避免地要带有某个时代、某个民族和某些个人的特点。因此,在逻辑发展的历史过程中,就产生了许多不同的逻辑体系并形成了三个不同的逻辑传统,即中国逻辑传统、印度逻辑传统和希腊逻辑传统。

中国逻辑传统

中国逻辑传统形成于先秦时期(见先秦逻辑思想),对它的形成和发展作出重大贡献的有名家、墨家和儒家的代表人物。

名家的逻辑思想

名家是中国最早出现的逻辑学派。它善于对语言和思想作逻辑分析,提出了许多关于形名的逻辑理论。名家的创始人是邓析,其著作早已遗失。据后来的一些史料记载,他善操两可之说,设无穷之辩,为诉讼两方提供胜诉的充分理由,并用严密的逻辑分析,批评当时的政治和法令。

惠施是名家的一个重要人物。可惜他的著作也已失传。只是《庄子·天下》中的“历物十事”和“二十一事”保存有惠施或其他辩者的一些逻辑材料。他把人们通常对一句话的解释换成一个特别的解,即“以反人为实”、“饰人之心,易人之意”,从而能“以非为是,以是为非”。例如,二十一事中的“轮不辗地”一条。照正常的理解,所谓“轮辗地”是说车轮这个圆圈上的一点或一部分与地面接触。但很可能惠施或其他辩者是把“轮辗地”解释为轮这个圆圈的全部都与地面接触。显然,在这个解释下,“轮不辗地”这个通常认为错误的语句(命题)便成为正确的了。又如“孤驹未尝有母”这条。这个语句(命题)中“孤驹”和“未尝”两个语词(概念)是隐含着时间的。可以从两段不同的时间来考虑这个语句。一段时间是:从现在是“孤驹”的这匹小马存在(出生)的那个时间起,一直到说这个语句的时间止。另一段时间是:从这匹小马成为孤驹的时间(即母马死了的时间)起,一直到说这语句的时间止。人们正常的理解是采取前一段时间,因而“孤驹未尝有母”这个语句是错误的。但惠施或其他辩者可能是采用后一段时间,因而“孤驹未尝有母”就成为正确的了。对于其他一些条,如“卵有毛”、“龟比蛇长”、“连环可解也”等,情况也类似。

名家的另一个重要人物是公孙龙。他的有名的逻辑理论是“坚白离”和“白马非马”。他认为,概念是根据感觉形成的,白这个概念是根据关于白的感觉形成的,坚这个概念是根据关于坚的感觉形成的。感觉的不同就决定了相应的概念的不同。我们摸一块石头,只有坚的感觉而没有白的感觉;看一块石头,只有白的感觉而没有坚的感觉。坚的感觉和白的感觉是分离的。因此,“坚”这个概念不同于“白”这个概念,二者是分离的。

公孙龙的“白马非马”是从“马”和“白马”这两个概念本身来论证的。他认为,马类除了包含白马外,还包含黄马和黑马。但白马类却不包含黄马和黑马。这是从概念的外延方面的论证。马只具有形体方面的性质而不具有白这一性质,但白马除了具有形体方面的性质外,还具有白这一颜色方面的性质。这是从概念的内涵方面的论证。由于“马”与“白马”这两个概念在外延与内涵方面都不相同,所以“马”这个概念不同于“白马”这个概念,所以“白马非马”。公孙龙虽是背离了日常语言的意义来论证“白马非马”,但他的论证是严密的,特别从外延与内涵这两方面来明确概念,是他对中国逻辑的重要贡献。

墨家的逻辑思想

墨家的逻辑思想集中表现在《墨经》一书中。该书所提出的逻辑理论主要有以下几个方面:

(1)关于正确知识的来源和内容。《墨经》认为正确知识的来源有闻、说与亲三种。亲知是由亲身经验而得到的知识,闻知是通过他人传授而得到的知识,说知是通过推理或论证而得到的知识。就知识的内容说,《墨经》认为有名、实、合、为四种。名知是知道语词(概念)的含义,推广来说,就是关于语言的意义的知识;实知是关于语词(概念)所指谓的事物的知识,推广来说,就是关于事物的知识;合知就是关于名(语言)和实(事物)之间的关系的知识,这里包括了语词有或没有所指谓的事物,即语句的真假:为知是关于对外界事物人们如何采取行动的知识。

(2)关于名的理论。《墨经》认为名的特性是“举实”,即名与实之间的举的关系,就象画中的老虎与真虎之间的关系。《墨经》的这个说法,可能受了古代中国象形文字的影响,但实质上是说明名与实之间的指谓关系。《墨经》把名分为达、类、私三大类。达名是可以用来指谓任何事物的名,如“物”;类名是指谓一类事物的名,如“马”;私名是只能用来指一个特定事物的名,如“臧”。《墨经》还谈到名与名之间的一些逻辑关系,如“彼此彼此”等于“彼此”,“彼彼”等于“彼”,“此此”等于“此”。但“彼此”不等于“彼”,也不等于“此”。这里“彼”与“此”是变项,可以分别代入任何两个互相排斥的名,如“牛”与“马”。这里所讲的名与名之间的关系,实质上也是类与类之间的关系。如用现代逻辑的表示方法,可把“彼”、“此”换成“a”、“b”。这里的“彼此”是“a∪b”。这样,《墨经》实质上是断定了:

(a∪b)∩(a∪b)=a∪b

(a∪b)=a

(a∪b)厵a, (a∪b)厵b

(3)关于辞的理论。《墨经》中所说的辞就是语句(命题)。辞的作用或特性是表达说话者心中的意(思想)。一个辞表达了说话者的意,就叫做信(诚实)。一个辞正确反映了事物的情况,就叫做当(正确)。信并不一定当,一句诚实的话并不一定是正确的话。《墨经》把事物之间的同和异看作语句(命题)的根据,提出了重、体、合、类四种同。一个事物与它自身同一或两个名举同一个实,这是重同;两个构成部分同属一个整体,这是体同;两个事物共同处于一个空间,两个事物和另一事物共有一种关系,这是合同;两事物有某一或某些性质相同,这是类同。相应于这四种同,也有四种异,即二、不体、不合与不类。根据事物之间的同与异,就有肯定的和否定的语句(命题)。《墨经》还提出了全称的和特称的语句(命题)。全称的语句要用语词(概念)“尽”, 特称的语句要用语词 “或”。“马尽白”是全称的语句。“马或白” 即“马不尽白” 是特称语句。《墨经》也很重视全称命题与特称命题之间的矛盾关系。

(4)关于说、类推、辩。说是论证,论证中有论题和论据(故)。“以说出故”,“说,所以明也”。说就是提出理由、根据和论据(故)来证明论题。《墨经》把故分为小故、大故两种。小故是“有之不必然,无之必不然”,是必要条件;大故是“有之必然”并且“非彼必不有”,是充分必要条件。《墨经》提出说有三个因素,即故、理、类。“夫辞以故生,以理长。以类行也。立辞而不明于其故所生,妄也。今人非道无所行,唯有强股肱而不明于道,其困也可立而待也。以类行也者,立辞而不明于其类,则必困矣”(《大取》)。有人认为,这里所说的故,是演绎推理中的小前提,象印度的五支或三支论式中的因。理是普遍性规律或全称判断,是演绎推理的大前提。类是得出普遍性规律或全称判断的类比和归纳推理。按照这样的解释,《墨经》上面那段话就成为对论证和推理理论的全面概括。如从该书提出的辟、侔、援、推这些特殊的论式来看,它所讲的论证,的确应用了演绎推理、类比推理和归纳推理。

《墨经》中所说的辩就是辩论,辩论的一方肯定一个命题,另一方否定这个命题。辩与说不同,在辩中,辩论的双方不仅都要应用说,而且双方所主张的论题是互相反对或矛盾的。辩论的双方都应遵守一些规则:如“以类取”,即根据推理得出自已所需要的命题;“以类予”,即承认对方根据推理得出他所需要的命题;“有诸己不非诸人”,即一方应用了某个推理方式,则不应反对对方也应用这个推理方式;“无诸己不求诸人”,即如果一方拒绝承认和应用某个推理方式,则不应要求对方承认和应用这个推理方式。

《墨经》中还提出了一些说与辩的特别方式,如辟、侔、援、推等。辟是由一个事物有某种性质推出另一类似的事物也有此性质。侔是附性法的推理。例如,“狗,犬也”与“杀狗,杀犬也”这两个语句是相比而俱行的。由于狗与犬之间有重同关系,“杀狗杀犬也”是正确的结论,而“杀狗非杀犬也”则是不正确的结论。援是辩论中的一方引用对方所断定的命题作为自己推理的前提,以推出自己需要的命题。推是利用对方所断定的命题作为推理的前提,以推出荒谬的结论或对方不愿接受的结论。《墨经》认为,辟、侔、援、推这些推理方式如果乱用就会发生错误。《墨经》提出了 5种情况,其中有的是正确的推理,有的则是错误的推理。它们是:

(1)是而然。这里“是”是对前提说的,“然”是对结论说的。“是而然”表示一类推理,其前提是肯定命题,其结论是正确的。例如,“白马”,马也;乘白马,乘马也。……获,人也;爱获,爱人也。……此乃是而然者也”(《小取》)。这里,每一整句都是正确的,前半句是以一肯定命题作前提,后半句是正确的结论。

(2)是而不然。《小取》中说:“获之亲,人也;获事其亲,非事人也。其弟,美人也;爱弟,非爱美人也。车,木也;乘车,非乘木也。……盗,人也;多盗,非多人也;无盗,非无人也。……此乃是而不然者也。”这里的“获之亲,人也”是一肯定的前提,“获事其亲,非事人也”表示“获事其亲,事人也”是一不正确的结论。这一整句是一个附性法(侔)的推理,附性法推理要求所附加的两个属性或概念是相同的。但“获事其亲,事人也”中的两个“事”却是不同的属性或概念。其他各句的情况也类似。

(3)不是而然。它表示前半句是否定命题,而后半句是正确的命题。“且读书,非读书也。好读书,好书也。且斗鸡,非斗鸡也。好斗鸡,好鸡也……此乃不是而然者也”(《小取》)。这里第一整句的前半句,是一个正确的否定命题,后半句是一个正确的肯定命题,如果把后半句改为“好读书,非好书也”,那么,整句就是一个不正确的附性法推理(侔)。其他各整句也类似。

(4)一周而一不周。这里是讨论命题中词项的周延性问题。《小取》中说:“爱人,待周爱人而后为爱人。不爱人,不待周不爱人,……乘马,不待周乘马然后乘马也,……逮至不乘马,待周不乘马而后为不乘马。此一周而一不周者也。”这里“爱人”中的“人”是周延的,“不乘马”中的“马”是周延的。

(5)一是而一非。这里是讲类比推理(辟)的错误。《小取》篇中说:“居于国,则为居国;有一宅于国,而不为有国。桃之实,桃也;棘之实,非棘也。问人之病,问人也;恶人之病,非恶人也。……之马之目眇,则为之马眇;之马之目大,而不谓之马大。之牛之毛黄,则谓之牛黄;之牛之毛众,而不谓之牛众。……此乃一是而一非者也。”这里第一整句的前半句是一正确的命题。但如果由此推出“有一宅于国则为有国”,则这个推理是一个不正确的类比推理,这个结论是不正确的结论。其他各整句的情况也类似。

《墨经》的逻辑,是以辩为主题的,但其中大部分内容,都是关于名、辞和说的逻辑理论。因此它不是纯粹的辩论逻辑。《墨经》中没有应用对象语言来表示的命题形式和推理形式,而只有应用典型的具体推理来体现的推理方式。但《墨经》中却有不少应用元语言来表述的逻辑规律,虽然这些是不够精确的,但表明《墨经》中的逻辑已开始进入形式逻辑的阶段。

儒家的正名理论

儒家对中国逻辑传统的贡献主要在于它的正名理论。最先提出正名理论的是儒家创始人孔子。孔子所说的“名”,主要是关于名位或名分的名称。他所说的“正名”,主要要求名位或名分必须符合礼法,因而他的正名理论主要是一种政治上和伦理上的主张。但他提出正名,客观上推动了后来对名实的逻辑问题的探讨。

儒家的另一个重要人物荀子强调正名。除了名的政治和伦理的意义外,他还明确地提出了一些关于名的逻辑理论。他认为,名的作用或特性是它能表示事物,所以,名是人们给予事物的名称,是约定俗成的,没有正确或不正确的问题。荀了提出了共名与别名的分别。共名实质上就是表示属的名,别名实质上就是表示种的名。他认为,共名之上还有共名,最后可得出其上没有共名的那种共名,即大共名,如“事物”。别名之下还有别名,最后可得出其下没有别名的那种别名,即大别名。他也提出了关于辞、说和辩的定义,认为辞是把两个表示不同事物的名称联系起来以表达一个思想;辩和说是证明一个命题是正确的或不正确的。

相对于名家与墨家来说,儒家对中国古代逻辑的贡献是比较小的。秦汉以后,由于封建统治者罢黜百家、独尊儒术和其他的原因,中国逻辑就很少有重大的发展。

印度逻辑传统

印度的各个宗教和哲学派别都有自已的逻辑理论,各派的逻辑理论既互相批评又互相促进,从而形成独特的印度逻辑传统。印度逻辑理论的主要派别,是婆罗门的正理逻辑与佛教的因明。

古正理逻辑

《正理经》中的逻辑理论,主要有量论、论式和论过三部分。量论是关于认识和获得认识的方法的理论。正确的认识可分为现量、比量、喻量和言量(声量)。现量是通过感觉、知觉直接得到的认识;比量是根据已有的认识通过推理得到的认识;比量又可分为有前比量、有余比量和共见比量;喻量是根据例证的类比而得到的认识;言量主要是教义或圣者的言论,是通过别人的言论而得到的认识。

论式是获得正确认识或知识的推理方式及其理论。论式是和量论密切联系的。量论着重在说明正确认识或知识的种类和来源,而论式则着重在说明推理方式的性质。论式是正理逻辑的核心部分。正理逻辑的论式有五支(五个组成部分),它们分别叫做宗、因、喻、合和结。例如,此山有火(宗);因为此山有烟(因);有烟也有火,如厨房(同喻);无烟也无火,如湖(异喻);此山有烟也有火,象厨房一样(合);此山有火(结)。宗是辩论的一方所提出的一个论题。这里,“山”是小词,“火”是大词。因是说明宗的理由或原因。如例中的“烟”是中词,表示理由或原因。喻是举出一个例证来说明中词与大词的联系。喻可分为同喻和异喻两种。同喻是正面的例证,表明中词所指谓的事物(有烟)和大词所指谓的事物(有火)之间的联系;异喻是反面的例证,表明中词的否定语词所指谓的事物(无烟)和大词的否定语词所指谓的事物(无火)之间的联系。喻支中有“喻体”和“喻依”两部分。喻体是表明中词和大词之间的联系,或中词的否定语词和大词的否定语词之间的联系,例如:“有烟也有火”,“无烟也无火”。喻依是例证,例如,“厨房”、“湖”。在古正理逻辑的论式中,同喻是必要的成分,异喻是可有可无的。合是把因和喻二者结合起来,说明宗中的小词所表示的事物(此山)有中词所表示的性质(有烟),也有大词所表示的性质(有火)。结是结论,是由因、喻与合推出的命题。结中的命题与宗中的命题是相同的。

古正理逻辑的论式中,没有应用变项。古正理逻辑的论式中的命题,都是具体的命题而不是命题形式。古正理逻辑的论式,只是通过典型的具体推理来表现推理形式,因而是具体的推理而不是推理形式。古正理逻辑的论式是辩论中应用的推理方式,因而具有它自己的特点。宗支与结支虽然是完全相同的命题,但宗支与结支在辩论和认识中的意义却是不相同的。宗支中的命题是辩论者提出来讨论的论题,是一个需要证明但尚未证明的命题。而结中的命题是一个经过推理已经证明的命题。在辩论中,经过几步论证之后,再重申一下已被证明的论题是必要的。合支在论式中的意义,也应从辩论的角度来理解。

正理逻辑论式中的同喻,只断定在一个或一类具体例证上有中词所表示的性质与大词所表示的性质共同出现。例如,厨房这一或这类事物既有烟也有火。喻支并没有明确断定中词所表示的性质(烟)与大词所表示的性质(火)之间有普遍的或必然的联系。因此,由因支和喻支到合支(或结支)的推理,严格地说,只是由特殊到特殊的类比推理。

论过是关于逻辑错误的理论。论过和论式是相辅相成的。后者说明正确的推理方式,前者说明不正确的推理方式。《正理经》中列举了20多种推理中的逻辑错误,但对各种逻辑错误的性质缺乏严格的说明。以下介绍的是其中最重要的 5种因过,即关于中词的逻辑错误。

(1)不定。由于中词不当,一个论式可以推出一个不同于宗的命题。例如,“声是常在的,因为声是摸不着的;摸不着的东西是常在的,如元子;声也是摸不着的。所以声是常在的”。“摸不着的”这个中词,也可用来证明“声是不常在的”这个相反的命题:“声是不常在的,因为声是摸不着的;摸不着的是不常在的,如认识活动;声也是摸不着的,所以声是不常在的”。这里所说的中词不当,是就一个具体的推理说的,而且是就这个具体推理中的中词所指谓的事物和大词所指谓的事物在客观世界中的实际关系说的,因而是很不严格的。

(2)相违。这种错误论式的中词与大词之间的关系是和事实相违反的。例如,“盆是产物”(宗),“盆是常在的”(因),“常在的是产物”(喻)。这里中词“常在的”与大词“产物”之间的关系是违背事实的。

(3)不成。这种错误论式是由于中词所指谓的事物是不存在的。例如,“那湖是实在的”(宗),“那湖有烟”(因)。中词“有烟”所指谓的事物是在湖中不存在的,湖中事实上没有烟。

(4)所立相同。这种错误论式中的中词同大词一样,是需要证明的。例如,“影是实体”(宗),“影是运动的”(因)。大词“实体”就是“有性质和运动的东西”。因而“影是运动的”同“影是实体”一样,是需要证明的。正确的论式,要求中词(因)在认识上是先于大词而确立的东西。

(5)过时语。这种错误论式的中词(因)在时间方面是不恰当的,因而不能证明结论。例如,“声是经久的”(宗),“声是两物接触的结果”(因);“两物接触的结果是经久的,如颜色”(喻);两物(如鼓与槌)接触(敲打)发出的声音,只在敲打之后才能听见;但两物(如光与瓶)接触就产生颜色,人立刻就能看见。而且,当光不照射到瓶上时就没有颜色,但槌停止敲鼓时,还能听到声音。因此,用“两物接触的”作为中词是错误的。

古因明

因明是研究推理的根据或原因的理论,是佛教的逻辑理论。龙树是因明的创始人。后经弥勒、无著和世亲等佛教徒加以发展。这是早期的因明,通称为古因明。古因明虽然批评正理逻辑,但还是承袭了正理逻辑的基本内容。

在量论方面,古因明接受了正理逻辑的现量、比量、喻量和言量的理论,只在比量这一点上有所改变。古因明把比量分为 5种:

(1)相比量,由对一个属性的认识推知另一个属性的存在;

(2)体比量,由对一个部分的认识推知有此部分的整体的存在;

(3)业比量,由对一行动的认识推知有此行动的行动者的存在;

(4)法比量,由对一属性的认识推知有此属性的事物的存在;

(5)因果比量,由对因(或果)的认识推知有此因的果或有此果的因的存在。在论式方面,古因明一般都沿用正理逻辑的五支。弥勒和无著有时也用三支,但没有明确提出三支论式的理论。在论过方面,古因明比古正理逻辑有所发展。后者只讲因过,前者则既讲因过也讲宗过。

新因明

世亲的再传弟了陈那总结和发展了古因明,把因明乃至印度逻辑提高到一个新的阶段。陈那的因明可分为 4个主要部分:

(1)真能立。这里讨论了正确的推理方式。陈那把以前的宗、因、喻、合和结的五支论式改为宗、因和喻的三支论式,但喻支中必须包世含同喻也包含异喻。例如,

宗:此山有火;

因:因为此山有烟;

喻:(同喻)凡有烟的都有火,如厨房;

(异喻)凡无烟的都无火,如湖。在陈那的三支论式中,不仅喻支中必须包含同喻与异喻,而且在同喻的喻体中和异喻中的喻体中都出现了全称量词“凡”。这表示陈那的三支论式的喻支中已明确地具有全称命题,也表示他的三支论式的喻支断定了中词所指谓的性质与大词所指谓的性质之间的普遍性和必然性联系。

陈那把五支论式改为三支论式,是印度逻辑发展过程中的一个很大进步。五支论式中的合支与结支,是为了辩论目的提出来的。陈那的三支论式去掉合支与结支,就表明新因明已由研究辩论的论式开始进入研究普遍的论式。更加重要的是陈那提出了“因三相”理论。玄奘把它译为:遍是宗法性,同品定有性,异品遍无性。这就是说,小词所表示的事物都具有大词所表示的性质;具有中词所表示的性质的事物一定具有大词所表示的性质;不具有大词所表示的性质的所有事物都不具有中词所表示的性质。陈那以前,古正理逻辑和古因明的论式都是用典型的具体推理来表现的,既不是用对象语言表达的推理形式,也不是用元语言表达的推理规则。而陈那则提出了用元语言表达的推理规则──因三相。这表明陈那的因明已开始脱离思维内容而进入严格意义下的形式逻辑。

(2)似能立。这里讨论了应用三支论式的论证的逻辑错误。陈那把这些错误分为似宗、似因和似喻 3大类。似宗又分5种,似因又分为14种,似喻又分为10种。

(3)真能破。这里讨论了如何反驳对方的论证,即指出对方的论证中的逻辑错误。真能破和似能立是密切联系的。

(4)似能破。这里讨论了6种不正确的反驳,即似宗过破,缺因过破,似喻过破,似不成因过破,似不定因破与似相违破。在每一种不正确的反驳下又再分为几种。

在陈那之后,重要的新因明逻辑学家是 5世纪的商羯罗和 7世纪的法称。法称总结了自陈那以来的新因明理论,并有所发展。他对新因明的一个重大贡献,就是三支论式中可以只有一个同喻或只有一个异喻,而不须同时既有同喻和异喻。他认为,只有一个同喻的三支论式和只有一个异喻的三支论式都是正确的。这就改进了陈那的三支论式和因三相理论。法称的三支论式,实际上就是亚里士多德三段论第一格的AAA或EAE。

新正理逻辑

14世纪婆罗门教的克伽自在摆脱了古正理逻辑的束缚,吸取了佛教因明和耆那派逻辑,从而发展出一个新的逻辑体系,这就是新正理逻辑。新正理逻辑与古正理逻辑不同,古正理逻辑关于正确论式讲得很少,对于各种错误论式却讲得很多。新正理逻辑则着重讲正确论式,而忽略各种繁多的错误论式;古正理逻辑是采用简略的格言形式,新正理逻辑则是详尽的严格的论述。

新正理逻辑,经过14世纪的耿盖夏,15世纪的罗怙主,17世纪的贾格提舍和安纳姆帕得等人的工作,发展到很高的水平。新正理逻辑研究了推理和蕴涵的理论、类逻辑、关系逻辑和命题逻辑。新正理逻辑是印度逻辑传统的高峰。

希腊逻辑传统

在世界三大逻辑传统中,希腊逻辑传统达到了最高的成就,现代逻辑就是从这一传统发展而来的。希腊传统形成于古代希腊,一直延续到近代西方。

古希腊逻辑

古希腊最早出现的逻辑系统是亚里士多德的逻辑。在亚里士多德的全部逻辑著作中,包括了5 个方面的内容:

(1)研究命题形式和推理形式的三段论理论;

(2)把三段论和归纳应用于辩论中的辩证推理理论;

(3)把三段论和归纳应用于科学中的科学推理理论和科学方法论;

(4)语法和语义的理论;

(5)本体论的理论。三段论理论、科学推理理论和辩证推理理论是其逻辑著作中的主要部分,而三段论理论又是其中最基本、最成熟和最深刻的部分。亚里士多德在他的三段论理论中已经应用了当时几何这学应用的数学方法,即应用了变项与公理方法。这是希腊逻辑传统中的一个非常重要的因素。

亚里士多德在其第一本关于推理的逻辑著作《论辩篇》中,探讨了辩论中所运用的推理,即辩证推理。辩证推理既可以用演绎推理,也可以用归纳推理。但亚里士多德只叙述了如何应用演绎推理与归纳推理进行辩论的问题,而未讨论这两种推理本身的形式和规律。他对辩证推理的贡献主要在于提出了有名的四谓词理论。他从一个命题中的谓词能否与主词互换位置和谓词相对于主词说是不是本质的这两个方面,把谓词分为 4类:

(1)定义,也就是通常所说的定义者。它与主词可以互换位置而且又是主词所表示的事物的本质;

(2)固有属性。它与主词可以互换位置但它不是主词所表示的事物的本质;

(3)属。它与主词不能互换位置但它却是主词所表示的事物本质中的成分;

(4)偶性。它与主词不能互换位置并且它又不是主词所表示的事物本质中的成分。在亚里士多德看来,辩论中的命题总是以定义、固有属性、属或偶性为谓词的命题。他还提出了许多实用的原则,使辩论中防守的一方或进攻的一方善于建立或推翻具有各种谓词的命题。

建立三段论理论,是亚里士多德对希腊逻辑传统的最重要的贡献。他首先提出了Aab、Eab、Iab和Oab四种实然命题形式,并以字母分别代表命题中主词与谓词的变项,同时还假定命题中的主词、谓词以及它们的矛盾概念都是不空的普遍概念。根据这一假定,亚里士多德提出了对当关系、换质换位和三段论的理论。这样,由于主词是不空的概念,就能根据对当关系,由全称命题形式Aab和Eab分别推出特称命题形式Iab和Oab;也由于主词、谓词和它们的矛盾概念是不空的概念,就能根据换质换位,由命题形式Aab推出Ia'b'和由Eab推出Oa'b';同样,由于主词是不空的概念,就能根据三段论规则,由两个普遍前提如Abc和Aab推出特殊结论Iac。

亚里士多德提出的实然三段论也称直言三段论,是由三个实然命题形式组成的三段论,其中有两个实然命题是前提,另一个实然命题是结论。他把三段论分为3个格,并把第1格的4个三段论看作完美的三段论。完美的三段论的正确性是自明和不需要证明的,第 1格以外的许多三段论主要通过换位法和归谬法被还原或化归为完美的三段论。由于完美的三段论是正确的推理形式,因而能还原为完美三段论的任何三段论也是正确的推理形式。亚里士多德的实然三段论理论是一个公理系统,第1格的4个完美的三段论是这个公理系统中的公理,换位法和归谬法实质上是该公理系统的推理规则,而由完美三段论推出的三段论是这个公理系统的定理。

亚里士多德还提出了模态三段论。在这种三段论的两个前提中,至少有一个是必然命题或偶然命题,而其他命题是实然命题。他也用一些自明的模态三段论作为公理,以推出其他正确的模态三段论。(见模态逻辑)

亚里士多德也研究了科学推理的性质及其在科学中的作用。这是一种与三段论不同的推理,三段论只要求推理形式的正确性,科学推理不只要求所用的三段论形式的正确性,而且要求所用三段论前提的真实性。科学推理和辩证推理不同。后者的前提是或然性的意见,而前者的前提都是必然性的知识,即必然命题。在亚里士多德看来,如果一个命题的主词与谓词之间有本质的联系,或者说这个命题的真实性是根据它的主词和谓词的定义就能建立的,这个命题就是必然命题。他进而指出,一门科学中的科学推理,除了要求它的前提是真实的和必然的,还要求:

(1)它的前提能最后从作为这门科学出发点的直接性命题推出;

(2)它的前提相对它的结论,必须是人们更好理解的;

(3)它的前提相对于它的结论,必须是理论上在先的;

(4)它的前提必须是它的结论的原因,即必须能说明它的结论的原因。在这4条要求中,①、②、③是互相联系的。前提是结论的原因,也就是表明前提是结论的理由。而理由相对于由理由得出的结果说,则是更好理解的,同时也是理论上在先的。

亚里士多德认为,每一门科学都有一些它必须依据但不能证明的原则,这些就是这门科学的最先原则。他所提出的一门科学的最先原则有:

(1)公理。公理是事物的最普遍规律,是学习任何知识都必须先知道的原则,因而也是任何一门科学都必须依据的原则。例如,矛盾律与排中律就是任何一门科学的公理。

(2)假设。每一门科学都有它的基本术语,都必须假定它的基本术语所表示的事物是存在的。一门科学中的假设,就是假定一门科学中的基本术语所表示的事物存在的命题。例如,在几何中假定点和线的存在,这就是几何学中的假设。

(3)定义。一门科学中的所有术语都必须有它们的定义,否则这门科学就是不可理解的。

亚里士多德十分重视归纳在科学认识中的作用。他有时把归纳看作由个别到普遍的论证过程,有时又看作由特殊到普遍的论证过程,有时还把它看作是人们得到普遍的直观。他认为,人们先有关于事物的知觉,然后形成关于事物的概念,在此基础上再应用归纳就能得到作为科学的出发点的第一原则和直接性前提。

继亚里士多德之后出现的麦加拉-斯多阿学派逻辑,是古希腊逻辑的另一高峰。麦加拉—斯多阿学派的逻辑学家一方面受古希腊辩者的论辩术的影响,另一方面也受到亚里士多德的学生泰奥弗拉斯多的假言推理的影响,他们系统、深入地研究了命题逻辑,取得了很大的成就。麦加拉-斯多阿派的逻辑著作很多,据说有好几百种。但已全部佚失,现只有一些第二手材料。

麦加拉-斯多阿逻辑家认为,逻辑同物理学与伦理学一样,是哲学的一个组成部分。逻辑包括辩证法与修辞两个部分;逻辑研究的主要对象是论证。修辞学是使人善于言辞的科学,辩证法(或辩证学)是关于通过问答进行正确讨论和论证的科学。修辞学研究连续的说话,辩证法研究互相问答中的说话。

麦加拉-斯多阿逻辑明确分别符号、符号的意义与符号的所指(外延)。辩证法包括两个方面,即符号的方面和符号的意义的方面。麦加拉-斯多阿的逻辑家把符号分为语词和语句。语词是不具有完整意义的表达式,语句是具有完整意义的表达式。他们又把语句区分为命题、疑问、命令、发誓与问候等。命题是或真或假的,疑问、命令……则是没有真假的或无所谓真假的。命题又可分为简单的与复合的。简单命题是只具有一个主项与一个谓项的命题,复合命题则是由简单命题与逻辑联结词构成的命题。复合命题有:假言命题、选言命题与联言命题、等值命题、因果命题等。麦加拉-斯多阿逻辑定义了论证,明确区别了具体论证和论证形式。他们还明确区别了正确的论证形式和不正确的论证形式。正确的论证形式的结论的矛盾命题与前提所组成的联言命题是不相容的,否则是不正确的论证形式。

麦加拉-斯多阿逻辑家的最大成就,是他们实质上构造了一个命题的公理系统。他们把 5个论证形式即复合命题形式看作是不用证明的,因为它们的正确性是显然的。他们认为,分析一个论证,就是根据 4条规则把这个论证化归为那些不用证明的论证形式。不用证明的论证形式实质上就是公理,而 4条一般规则就是推理规则。他们已认识到,不用证明的论证形式即公理中所应用的逻辑联结词“如果…那么…”、“或”、“并且”等是可以互相定义的。他们还认为,一切正确的论证形式即真值函项的复合命题都可通过他们所提出的 4条一般规则化归为不用证明的论证形式。他们实质上认为他们的命题公理系统是完全的。

麦加拉-斯多阿逻辑家还深入讨论了模态概念“必然”与“可能”的问题。第欧多鲁·克罗纳(约前 4世纪)从时间方面来定义必然与可能,斐洛则从事物的内在本性来定义必然与可能。克吕西波(前280~前209)基本上赞成斐洛的观点,但他不仅考虑事物的内在本性,还考虑了事物的外部条件。他们还深入讨论了假言命题和蕴涵的逻辑性质。第欧多鲁·克罗纳认为,“如果A则B”是真的,当且仅当在任何时候都没有出现“A真而B假”的情况。斐洛则不考虑时间而只考虑前件与后件的真假关系,认为“如果A则B”是真的,当且仅当A是假的或B是真的。克吕西波则认为,“如果A则B”是真的,当且仅当非B与A是矛盾的。斐洛的蕴涵就是B.A.W.罗素的实质蕴涵,而克吕西波的蕴涵相当于C.I.刘易斯所说的严格蕴涵。

麦加拉-斯多阿逻辑家给希腊逻辑传统增添了新的重要的内容。亚里士多德的三段论只是一元谓词的逻辑,麦加拉-斯多阿的逻辑则是命题的逻辑。麦加拉-斯多阿逻辑家比亚里士多德更加明确地区别了语言表达式与它们的意义,并强调逻辑规律只是根据表达式的意义。

中世纪逻辑

中世纪逻辑也是希腊逻辑发展的一个重要阶段。欧洲中世纪经院逻辑家主要是从阿拉伯人那里继承了古希腊的逻辑成果。因此,阿拉伯逻辑也是中世纪逻辑的一个组成部分。古希腊逻辑大约在公元后 5世纪开始传入叙利亚,约 9世纪巴格达成了当时阿拉伯地区研究逻辑的中心,出现了巴格达学派。巴格达学派主要是注释和讲述亚里士多德逻辑。亚里士多德《工具论》中的 6篇、他的《修辞学》、《诗学》和波尔费留的《亚里士多德范畴引论》,是巴格达学派学习逻辑必读的“逻辑九书”。

巴格达学派中最重要的逻辑家是法拉比。他注释了亚里士多德的全部逻辑著作,还通过A.M.T.S.波爱修的著作研究了麦加拉-斯多阿逻辑的条件推理即假言推理和选言推理。伊本·西那反对巴格达学派局限于注释和讲述亚里士多德逻辑,他强调对逻辑进行创新的研究,并开创了“东方学派”。他研究了直言命题的谓词量化,也研究条件命题的质和量问题。更为重要的是他提出了命题的时间,并把命题的时间和模态结合起来。例如,“所有a都是b”,可以是①“在a存在的任何(所有)时间,所有 a都是b”,也可以是②“在a存在的有的时间,所有a都是b”。他还在有时间的命题中再加模态词“必然”或“可能”,构成更为复杂的命题。阿拉伯另一位重要逻辑家是“西方学派”的阿威罗伊(1126~1198)。他着重要研究了亚里士多德的模态三段论,并把《工具论》中的逻辑内容系统化。

大约12~15世纪,欧洲经院逻辑继承和发展了古希腊和阿拉伯的逻辑思想,建立了完整的经院逻辑体系,从而对希腊逻辑传统作出了重要的贡献。经院逻辑明确区分了范畴词与非范畴词。范畴词是指谓确定的对象的语词,如“人”。非范畴词本身并不指谓任何对象,但它们和范畴词联结起来,使范畴词以某种方式指谓某种对象,例如,“所有的”、“有的”、“非”等。

非范畴词不仅可以和范畴词联结,而且可以和命题联结,例如,“如果…那么…”、“或”、“并且”、“非”、“必然”等。经院逻辑所说的非范畴词,实质上就是逻辑词项;经院逻辑还应用范畴词定义了命题和推论的形式和内容。经院逻辑提出了关于词项的性质的理论,特别是指代的理论。这是一种涉及量词与语言层次的理论,是经院逻辑中很有独创性的部分。

在模态逻辑方面,经院逻辑明确区分了命题模态和事物模态。如果一个模态词作为整个命题的谓词,那么它就是命题模态;如果一个模态词作为命题中的谓词的形容词,那么它就是事物模态。前者如“苏格拉底在跑动是可能的”,后者如“苏格拉底可能在跑动”。经院逻辑把命题模态和事物模态同命题的合与分联系起来。例如,“一个坐着的人在走动是可能的”,这是一个在合的意义下的命题,也是一个命题模态。“一个坐着的人是可能(能够)走动的”,这是一个分的意义下的命题,也是一个事物模态。前者是一个假的命题,但后者却是一个真的命题。经院逻辑家伪司各特构造了一个模态三段论系统,在每一个模态三段论中,有一个前提是在合的意义下的命题,而另一个前提是在分的意义下的命题。奥康的威廉则根据大、小前提是合或分的意义下的命题,构造了 4种不同的模态三段论。

经院逻辑家认为,逻辑是关于思想或意义的科学,特别是关于非范畴词的意义的科学。逻辑同语法、修辞、算术、音乐、建筑学和天文学一样,是神学的支柱或婢女,但却不是神学的一部分。

近代西方逻辑

随着16世纪实验科学的出现,人们对逻辑这门科学产生了新的要求。F.培根认为,当时流行的演绎逻辑已不能满足科学发展的需要。他企图创造一种新的逻辑作为科学的新工具。他认为,演绎只能阐明已经发现的东西,只能判定由一些思想推出另一个思想的过程是正确的或错误的,只是归纳才能发现真理,才能发现事物的规律。培根的归纳方法不同于简单枚举的归纳,后者在亚里士多德和伊壁鸠鲁学派(见伊壁鸠鲁和伊壁鸠鲁学派)的著作中早已提出过。培根的归纳方法,是一种设计实验并由实验结果找出事物规律的方法。他提出了有名的三表法:

(1)出现表,罗列所研究的现象出现的所有情况;

(2)不出现表,罗列所研究的现象不出现的所有情况;

(3)程度表,罗列所研究的现象在程度上的各种变化。通过这 3个表就可找出所研究的现象的原因和规律。

培根认为,作为科学的新工具的逻辑应包括 4个部分:

(1)发现的方法,在这里应用归纳由事实得出事物的普遍规律,或由事物的普遍规律得出更普遍的规律;

(2)思想的方法,即演绎推理的方法;

(3)记忆的方法,例如,应用一些口诀的方法帮助记忆;

(4)传递的方法,这里包括如何准确地表达自己的思想和有效地把自己的思想传达给别人。

J.S.密尔继承和发展了培根的归纳法,他提出了求因果五法,即契合法、差异法、契合差异并用法、剩余法和共变法(见密尔求因果五法)。密尔五法是培根三表的发展,密尔不仅把五法看作指导实验的方法,而且把五法看作归纳推理的模式。

培根虽然批评亚里士多德的三段论,但并未否定三段论的正确性。密尔则同古希腊怀疑论者一样,认为三段论是犯了“假设论题”的错误。在他看来,三段论的普遍前提,实际上只是一些特殊事例的总和,因而三段论只是由特殊前提到特殊结论的类比推理。

R.笛卡尔则从另一个角度批判当时的演绎逻辑,他强调数学的方法作为研究科学的新方法。他认为,理智有直观与推理两种活动,在直观中我们应形成清楚明确的概念,然后应用推理特别是数学的推理从这些清楚明确的概念得出必然的结论。他在其《指导理智的规则》和《论方法》中,提出许多关于得到清楚明确的概念和进行正确推理的具体规则。

I.康德认为,在普通逻辑即形式逻辑之外,还有先验逻辑。先验逻辑分为先验分析(或分析学)和先验辩证法两个部分。在先验分析中,康德分析了知识即先天综合判断中的先天因素。他认为,知性中有12个先天范畴,经验和知识是知性把这些先天范畴应用于感性材料的结果。他把这12个范畴分为 4组,即量范畴、质范畴、关系范畴和模态范畴。相应于这 4组范畴,他提出知性的 4个原则,即直观公理、知觉预期、经验类比和经验的思想公设。先验辩证法是分析理性超出了经验范围所产生的谬误。

康德的先验逻辑是以亚里士多德的逻辑为框架的。在亚里士多德的《工具论》中,有《前分析篇》,《后分析篇》和讨论辩证法的《论辩篇》。康德的先验逻辑中相应地则有“关于范畴的分析”,“关于原则的分析”和先验辩证法。但是,《工具论》中的“分析”和“辩证法”与先验逻辑中的“分析”和“辩证法”迥然不同。《工具论》的逻辑是从真假这个角度来讨论命题和命题之间的推理关系,而先验逻辑却是讨论判断形式、范畴与原则在形成知识中的认识作用。先验逻辑不是严格意义的逻辑,而是康德唯心主义认识论中的重要部分。

G.W.F.黑格尔发展了康德先验逻辑的理论。全面地和系统地叙述了思想范畴的辩证发展。黑格尔认为思想范畴也就是存在范畴。因此,黑格尔的逻辑也就是他的绝对唯心论的认识论和本体论。这样的逻辑完全不同于亚里士多德开创的演绎逻辑和培根开创的归纳逻辑。

现代逻辑

现代逻辑的主流是数理逻辑,此外也包括非经典的逻辑。现代归纳逻辑和自然语言逻辑也属于现代逻辑的范围。

数理逻辑

数理逻辑是一门边缘性的科学。它一方面应用数学方法研究逻辑问题,另一方面又应用逻辑的成果去研究数学的基础和方法。这两方面的研究,是紧密联系、互相促进和逐步提高的。经过近百年来的发展,数理逻辑已具有非常丰富的内容。它包括了五个部分,即逻辑演算、集合论、证明论、模型论和递归论。第一个部分是严格意义下的数理逻辑;后四个部分已成为数学的分支,属于广义的数理逻辑。

形成

17世纪的莱布尼茨最先明确地提出了关于数理逻辑的根本思想。他认为,象算术和代数表示数的规律那样,人们可以创造一个无歧义的符号体系来表示人的思想。在这个符号系统中,复杂的概念分析成一些简单的概念,概念与概念之间的关系成为符号与符号之间的机械的关系,推理的进程成为符号的演算进程。莱布尼茨本人未能实现他的这个设想,但这个思想却推动了数理逻辑的建立和发展。

1847年,G.布尔构造了一个逻辑代数系统。这个系统可以有几个不同的解释。在其中一个解释下,这个系统就成为命题逻辑,在另外一个解释下,就成为类逻辑。布尔这个系统,是近代应用代数方法研究逻辑的第一个成果。

1848年,A.德摩根发表了他应用数学方法研究关系逻辑的成果。这就突破了亚里士多德直言三段论的界限。

G.弗雷格为了逻辑证明的严格性和探讨能否从逻辑推出数学,就构造了一个逻辑系统。他在1879年出版的《概念文字》一书中,应用A,B,C,……作为代表命题的符号,应用两种图形的符号分别表示否定和蕴涵这两个逻辑概念。他列举了其中包括全称量词和等词的 9条公理,并明确地提出肯定前件推理和替换作为推理规则。这是历史上第一个本身具有推理规则的一阶逻辑公理系统。弗雷格也区别了作为研究对象的对象语言和用来研究对象语言的元语言。

G.F.P.康托尔为了研究函数论的需要,开始了对无穷集合的研究,从而在19世纪70年代建立了集合论。康托尔在他的集合论中,肯定了实无穷。他应用一一对应的概念,把无穷集合定义为“和自己的真部分一一对应的集合”。他证明了一切代数数由于和正整数一一对应都是可数的,但实数则是不可数的。他应用一一对应来比较两个集合的大小,并利用了序集和幂集理论证明了有不同大小的无穷多个的无穷集合,而自然数集是最小的无穷集合。康托尔已猜想到连续统是大于自然数的基数的第一个超穷集合,但他没有能够对此作出证明(见连续统假设)。康托尔关于实无穷的理论涉及数学性质的根本问题,对数理逻辑的发展起了重要的推动作用。

非欧几何出现以后,它和欧几里得几何的一致性问题成为数学家关心的问题。为此,D.希尔伯特在其《几何基础》一书中构造了欧几里得几何的形式公理系统。他应用了 “点”、 “线”、 “面”、 “在…之上”、“在…之间”、“合同于”、“平行”、“连接”等语词,并由它们构成公式。他还列举出 5组公理,由它们能够推出欧几里得几何的所有定理。“点”、“线”、“连接”这些语词,严格地说,都是没有意义的符号,只有经过解释之后,这些符号才具有几何的意义,由它们构成的公理才是几何公理,这个公理系统才是几何公理系统。希尔伯特在实数理论中为这个形式公理系统构造了一个模型,从而证明该系统的相对一致性。希尔伯特的形式公理系统是公理理论的重大发展,成为数理逻辑中的一个重要成分。

1900年,希尔伯特发表了他关于“数学问题”的讲话,其中提出有名的23个数学问题。第一个是关于集合论中的连续统假设与良序定理的问题,第二个是关于实数理论的一致性问题。此后几年,关于数学基础的问题,争论非常热烈。争论的焦点是:如何在公理系统中防止悖论,有无实无穷和数学能否化归为逻辑。

罗素赞成弗雷格的看法,认为数学能够从逻辑推出。弗雷格和罗素这种看法通常叫做逻辑主义。在罗素与A.N.怀特海合写的《数学原理》一书中,在应用无穷公理与选择公理的条件下,推出了大部分数学。但这两条公理却不是逻辑的规律。因此,罗素与怀特海由逻辑推出数学的工作是不成功的。不过,由于他们的工作,数学与逻辑的差别和联系却变得明确了。此外,在《数学原理》中,他们构造了一个命题演算和谓词演算,发展了关系逻辑,提出了高阶逻辑和防止悖论的类型论。

从1907年起,L.E.J.布劳维尔开始批评康托尔、罗素和希尔伯特关于数学性质的理论。象康德一样,布劳维尔认为数学来源于直观的先验形式,因而数学是不能从逻辑推出的。他也不承认实无穷,认为无穷只是一种无限增长的可能,只有自然数和它的某些基本规律如数学归纳法才是直观上最可靠的,因而一切数学都必须由此构造出来。他还认为,一个数学对象,只有能给出得到它的计算方法,才是数学中的存在;一个公式,只有能给出它的构造性证明,才是一条定理。布劳维尔不承认应用间接证明的方法推出的数学定理。他也不承认排中律,认为在一个系统中一个命题是真的,就是这个命题是在这个系统中能证明的;一个命题是假的,就是这个命题是在这个系统中能否证的,即这个命题的矛盾命题是能证明的。显然,在一个系统中有些命题是既不能证明也不能否证的,因而有些命题就既不是真的也不是假的。所以,排中律不是一条普遍有效的逻辑规律。布劳维尔的上述看法,通常叫做直觉主义。

1930年,A.海廷(1898~  )构造了一个直觉主义的逻辑演算。在这个演算中,p∨塡p和塡塡pp都不是定理,但p→塡塡p却是定理。

希尔伯特不赞成罗素的逻辑主义,因为逻辑和数学必须同时建立,数学要假设逻辑,逻辑也要应用数学。希尔伯特也不赞成布劳维尔的直觉主义,因为直觉主义要排斥一大部分极有价值的古典数学,而且悖论的产生也不是由于肯定了实无穷。希尔伯特认为,如果一个数学理论肯定了实无穷,而不引起逻辑矛盾并且还能简化理论和取得实用方面的成果,那么,肯定实无穷作为一个理想的元素是完全正确的。为了证明那些肯定实无穷的古典数学的正确性,他力图证明古典数学的无矛盾性或一致性。1922年,希尔伯特提出了人们所谓的“希尔伯特方案”。他认为,我们可以把古典数学的某一分支如初等数论,加以严格化并加上逻辑演算,以构成一个形式公理系统。然后再构造一个相应于该形式公理系统的形式语言系统。

为了研究这个形式语言系统的性质,还必须建立一个不假定实无穷的逻辑系统和一个不假定实无穷的初等数论。这样的逻辑系统加上这样的初等数论,希尔伯特称之为“元数学”。由于这个形式系统可以解释为例如初等数论,如果应用元数学能证明这个形式语言系统的无矛盾性或一致性,那么也就证明例如初等数论是无矛盾的或一致的。通过应用元数学来研究一个形式语言系统,特别是研究其中的证明的逻辑,从而证明这个形式语言系统的无矛盾性,是希尔伯特的“证明论”的基本内容。后来有些人把他的这种观点叫做形式主义。

K.哥德尔于1930年发表了一篇重要论文《逻辑谓词演算公理的完全性》。在这篇论文中,他证明了谓词演算的完全性,即谓词演算的所有常真公式都是谓词演算的定理。他也证明了紧致性定理,即一可数无穷多公式的系统是可满足的,当且仅当它的任一有穷子系统是可满足的。 1931年, 哥德尔又发表一篇极其重要的论文《PM及有关系统中的形式不可判定命题》。在这篇论文中,他证明了两条不完全性定理:

(1)如果一个包括初等数论的形式系统是一致的,则它是不完全的;

(2)如果一个包括初等数论的形式系统是一致的,则它的一致性不能在它本身中得到证明。哥德尔的研究成果,不但对于数学理论系统是非常重要的,而且对于哲学和认识论也是重要的。

1936年,A.丘奇(1903~  )在他的《关于判定问题》这篇论文中证明:如果一个形式算术系统是一致的,则没有一个判定程序来确定这个系统的任一公式是不是定理。这篇论文也证明了谓词演算一般是不可判定的。

哥德尔在20世纪30年代初的成果,标志着数理逻辑的发展已进入一个新阶段。这时数理逻辑的基本情况是:

(1)在逻辑演算方面,一阶逻辑最重要的元定理都已证明。早在1885年C.S.皮尔士就已提出了命题逻辑的判定方法。1921年E.L.波斯特(1897~1954)证明了命题演算的一致性和完全性;1928年希尔伯特与W.阿克曼(1896~1962)证明了一阶谓词演算的一致性;哥德尔证明了一阶谓词演算的完全性;丘奇证明了一阶谓词逻辑的不可判定性。由此表明,一阶逻辑已进入它的成熟阶段。

(2)在数学基础方面,逻辑主义、形式主义和直觉主义之间的争论已经基本平息。三派理论中的错误部分已被抛弃,而合理成分则保留为数理逻辑的内容。

(3)在数理逻辑的方法方面,形式系统的方法已经确立,递归方法和模型方法已开始应用。数理逻辑已形成了它自己的特殊研究方法。

发展

30年代中期以后,数理逻辑仍继续向前发展。逻辑演算、形式语言的方法日益严格化,构造了一些新的逻辑演算系统和对元定理的新证明,应用了自然推理和进行对高阶逻辑的研究。但更为重要的是数理逻辑在集合论、证明论、模型论和递归论方面的发展。

为了克服康托尔的集合论即朴素集合论所产生的悖论,E.策尔梅洛 (1871~1953)、A.A.弗兰克尔(1891~1965)、J.von诺依曼(1903~1957)和 P.贝奈斯(1888~1977)等人采取形式公理系统的方法来研究集合论,从而建立了形式公理集合论。形式公理集合论除了处理朴素集合论的那些内容外,还研究集合的模型、各公理之间的关系、各系统之间的关系等理论。

希尔伯特在哥德尔不完全性定理发表以后,放弃了他应用“元数学”去证明古典数学一致性的看法。G.根岑(1909~1945)在希尔伯特的“元数学”中加上超穷归纳法,于1936年证明纯粹数论的一致性。后来,又经过K.舒提等人的工作,证明论成了数理逻辑的一个分支。

数理逻辑关于形式语言的研究,必然要涉及语形和语义的问题。R.卡尔纳普在30年代研究了形式语言的语形方面。1933年,A.塔尔斯基在他的《形式语言中的真理概念》这篇论文中,提出了关于形式语言的语义的系统理论,从而开创了模型论这一数理逻辑的分支。

R.戴德金德(1831~1916)和G.皮亚诺都早已应用了递归方法。哥德尔在不完全性定理的证明中则大量应用了递归方法并于1934年在一次讲演中提出一般递归的概念。后来S.C.克利尼(1909~  )在他的《自然数的一般递归函数》(1936)中,给出了一般递归的严格定义。丘奇于1936年证明了能行可计算函数与一般递归函数等价;他与克林又证明了一般递归函数与λ可定义性等价(见能行性与一般递归)。英国的A.M.图林(1912~1954)于1936~1937年提出了理想计算机的理论,并证明图林可计算性与λ可定义性也是等价的(见图林机器理论)。这一系列的成果就构成了递归论。

非经典逻辑

布尔逻辑代数、罗素和怀特海的逻辑演算以及希尔伯特和阿克曼的逻辑演算,都是二值的外延逻辑。这些逻辑体系中的命题或命题形式,只能有而且必须有真和假这二值之一。其中的逻辑词项,如“不”、“或”、“和”、“如果……,那么……”、“所有的”、“有的”等,都是真值函项的或外延性的语词。这样的二值外延逻辑演算或逻辑体系,被称为经典的逻辑演算或逻辑体系。非经典的逻辑演算或逻辑系统,就是非二值的或非外延的逻辑演算或逻辑系统。模态逻辑、多值逻辑、道义逻辑、认知逻辑、时态逻辑等都属于非经典逻辑的范围。

模态逻辑

刘易斯在他1914年发表的《严格蕴涵的演算》和《蕴涵的矩阵代数》两篇论文中,构造了一个模态命题演算。后来他又提出了5个模态命题演算:S1,S2,S3,S4,S5。它们是在古典命题演算中再加入“◇” 这一基本符号以及相应的形成规则、公理和推理规则而形成的模态命题演算。在S1, S2, …,S5中,通过定义引入“□”与“劏”这两个符号。“◇p”“□p”与“p劏q”分别解释为:可能p,必然pp严格蕴涵q。◇、□、劏和经典命题演算中的逻辑联结词不同。经典命题演算的逻辑联结词,都是真值函项的。例如,塡p的值是由p的值唯一地决定的:p真则塡p假,p假则塡p真。但模态命题演算中的◇、□与劏,则不是真值函项的。例如,◇p的值就不是由p的值唯一地决定的,因为p假则◇ p既可以真也可以假。

1946年,M.巴坎与卡尔纳普各自独立地构造了一个模态谓词演算。模态谓词演算实质上是在模态命题演算中再加入量词、个体词与谓词的结果。

对模态逻辑的语义方面的研究,从40年代后期开始取得重要的成果。1947年,卡尔纳普对模态逻辑的语义提出了初步的系统理论。50年代后期,S.康格尔、J.辛迪卡与S.A.克里普克等人进一步发展了模态逻辑的语义理论。克里普克应用“可能世界”来说明必然与可能。在可能世界1中必然p,就是在1的所有的可及的可能世界中p都是真的。在可能世界w1中可能p,就是在w1的有的可及的可能世界中 p是真的。应用“可能世界”的语义理论就可定义模态逻辑的常真公式,从而证明模态演算的完全性定理。

多值逻辑

稍后于刘易斯的模态逻辑,又出现了另一种非经典逻辑,即多值逻辑。多值逻辑体系中的命题,可以有三值,四值,…,n(>2)值。J.卢卡西维茨 (1878~1956)在他的《三值逻辑》 (1920)论文中,首先提出了多值逻辑的思想。他认为,关于未来事件的命题,如亚里士多德所说的“明日有海战”,既不是真的,也不是假的,而是真假未定的。他在真假二值外,提出“未定”作为命题的第三个值。波斯特则于1921年发表了他的多值逻辑体系。H.赖兴巴赫认为,三值逻辑适用于量子力学。50年代以后,J.B.罗塞、A.R.图尔克韦特、克利尼等发展了多值逻辑,把三值推广到 n值。

道义逻辑和认知逻辑

1951年, G.H.von莱特在他的《道义逻辑》这篇论文和《模态逻辑》这本书中,提出了两种非标准的模态逻辑,即道义逻辑和认知逻辑。在道义逻辑中,莱特应用A,BC作为表示行为的变元,除了古典命题逻辑的联结词之外,他还应用了“P”这一符号。“PA”表示“A是许可的”(或“许可A”),“~PA”表示“A是禁止的”(或“禁止 A”)。他用“~P”来定义“OA”,“OA”表示“是应当的”(或“应当”)。他提出道义模态逻辑的几条原则。例如,许可原则与分配原则。由许可原则可得出PAP;由分配原则可得 P(A∨B)凮(PAPB)。他还提出道义逻辑的范式,并用它来判定一个道义命题形式是或不是道义逻辑的重言式。

在认知逻辑中,莱特应用a,b,с,…表示命题。“Va”表示“命题是被证实的”,“Fa”表示“命题是被否证的”。“F”可定义为“V”。同样地,他也提出了认知逻辑的范式,并用它来判定一个认知命题形式是或不是认知逻辑的重言式。莱特的著作发表以后,引起了许多逻辑家对道义逻辑和认知逻辑的浓厚兴趣,从而陆续产生了许多道义逻辑和认知逻辑的系统。

时态逻辑

20世纪50年代中期,A.N.普里尔提出了时态逻辑。他用“Pnp”表示“过去n天有情况p”(如以一天为时间单位),用“Fnp”表示“n天后有情况p”,用“Fop”表示“现在有情况p”。他在一个完全的经典谓词演算上再增加几条关于时态的公理,构造了一个时态逻辑演算。他还在时态逻辑演算中定义了 Lp(必然p)与Μp(可能p)。他的时态逻辑演算也可看作古希腊第欧多鲁·克罗纳解释下的模态逻辑演算。

现代归纳逻辑

归纳逻辑的研究在20世纪也有所发展。1921年J.M.凯因斯构造了一个归纳概率的公理系统。30年代赖兴巴赫又构造了一个新的归纳逻辑体系。从40年代起,H.詹弗瑞、莱特、卡尔纳普、辛迪卡等人又先后提出了一些不同的归纳理论与系统。

自然语言逻辑

20世纪50年代中期开始,美国语言学家A.N.乔姆斯基应用一些数理逻辑的方法来研究自然语言的语法,逻辑学家R.蒙塔古则应用形式系统的方法来研究自然语言的语义和语法。现在有不少人从事自然语言逻辑的研究,出现了许多关于命令句逻辑、问句逻辑和语用逻辑的理论和体系。

趋势

现代逻辑的各个分支,正在以不同的速度向前发展。新的逻辑分支,特别是研究具体科学中逻辑问题的应用逻辑,将会不断出现。逻辑在各门具体科学的研究中和各种社会活动中,必然起着越来越重要的作用。

参考书目
  1. 金岳霖主编:《形式逻辑》,人民出版社,北京,1979。
  2. T.塔尔斯基著,周礼全、吴允曾、晏成书译:《逻辑与演绎科学方法论导论》,商务印书馆,北京,1963。
  3. 威廉·涅尔、玛莎·涅尔著,张家龙、洪汉鼎译:《逻辑学的发展》,商务印书馆,北京,1985。
  4. A.Church, Introduction to Mathematical Logic, Princeton,1956.
  5. R.Carnap, Logical Foundation of Probability,London,1950.

参考文章