[拼音]：banqun
[外文]：semigroup
群概念的推广。一集合S称为半群，是指S的所有元素对于S上的一个二元运算*满足结合律，即(α*b)*с=α*(b*с)，α、b、с∈S。例如，整数集合对于加法运算是一半群；集合A 的所有子集合组成的集合S(A)对于集合的并，是一半群；集合A上的所有变换T(A)对于变换的乘法，是一半群；集合A 上的所有二元关系R（A）对于关系运算的乘法，是一半群。设 Χ 是一字符集合，Χ+是Χ 中的元素组成的有限字符串的集合。若对Χ+中的两个元素
、
定义二元运算*如下：
，则Χ+对于运算*是一半群，并称之为由Χ 生成的自由半群。
对于半群，广义结合律成立，即在有限个元素相乘时，不论以什么样的方式结合，只要元素排列的次序不变，结果总是相同的。
在半群中，如果对于正整数 n定义 
，那么对于正整数m、n有
，
。
若半群中存在元素e，使得对于所有的 α∈S，都有e*α=α，则e称为半群的左单位元素。同样可定义半群的右单位元素。如果一半群既有左单位元素，又有右单位元素，那么这两个元素必是同一个元素；这个元素称为半群的单位元素。若一半群中存在元素Ζ，使得对于所有的α∈S，都有Ζ*α=Ζ，则Ζ称为半群的左零元素。同样可以定义半群的右零元素。如果一半群既有左零元素，又有右零元素，那么这两个元素必是同一个元素，并称之为半群的零元素。若半群中的一个元素x满足条件 x*x=x，则x称为半群的幂等元素。显然，单位元素和零元素都是幂等元素。
有单位元素的半群，称为幺半群。如果给定的一半群S不含单位元素，那么可以给它补充一个单位元素e，使它成为幺半群S┡=S ∪{e}，其中S的二元运算*已扩展到S┡上，即对所有α∈S，恒有e*α=α*e=α，并且e*e=e。在字符集合Χ上的字符串半群Χ+中，可以补上空串，使之成为幺半群Χ
。
如果一半群的元素的个数是有限的，那么这个半群称为有限半群。任何有限半群S必含有幂等元素，而且对于任何α∈S，都有一个形式为αk的幂等元素。
如果半群S的二元运算是可交换的，即对于α、b∈S，恒有α*b=b*α，那么S称为可交换半群。在可交换半群中，对于正整数n，有
。
如果半群S中存在一个元素α，使得
，那么S称为由α产生的循环半群，简称为循环半群。循环半群显然是可交换半群。若循环半群的元素个数是无限的，则α的所有幂都是不同的。若循环半群的元素个数是有限的，则存在两个正整数r和m，使得
，并且
，r称为α的瞬态指数，m称为 α的周期。如图
所示，这时
是S的循环子半群。如果n是m的倍数，满足r≤n≤r+m-1，那么αn是幂等元素，且是半群Kα的单位元素。如果半群S的一个子集W对于S中规定的二元运算而言仍是一个半群，那么W称为S的子半群。
设S1和S2是两个半群，ƒ是从S1到S2的一个映射，如果ƒ是保运算的，即对所有的α、b∈S有ƒ(α*b)=ƒ(α)*ƒ(b)，那么ƒ称为同态映射。当ƒ为满射时，则称S2是S1的同态像。当ƒ是双射时，则称ƒ是同构映射。此时就说半群S1和S2是同构的，记为
。如果S2是一个幺半群，含有单位元素e2，那么把S1中映成e2的那些元素组成的集合称为同态映射ƒ的核，记为Ker(ƒ)。
如果一半群S有单位元素e且有逆，即对于任何α∈S总有元素b使得α*b=b*α=e，那么半群S是一个群。如果半群S的一个子集A满足条件
，那么子集A称为S的左理想。同样可定义右理想。若A非空且A≠S，则称A是S的真理想。若半群 S无真的左理想，则称A是左单纯的。同样可定义S是右单纯的。
一个半群是群的充分必要条件为：它既无左真理想，又无右真理想。一个有限幺半群是群的充分必要条件为：单位元素是这个半群的惟一幂等元素。
设R是半群S上的一个等价关系，如果对所有的z∈S，当xRy时总有x*zRy*z，那么等价关系R称为右不变的。同样可定义左不变的等价关系。如果半群 S上的等价关系R�仁亲蟛槐涞模质怯也槐涞模敲�R称为S上的合同关系。
设R是半群S上的合同关系，集合S/R是S在关系R之下的等价组集合，[x]R是S中和x等价的元素组成的等价组。若把等价组之间的二元运算*定义为
，则S/R是一个半群。设MR是如下定义的由S到S/R上的映射:MR(x)＝[x]R，x∈S，[x]R∈S/R，则MR是一个同态映射。S/R 称为半群S对于R的商半群。
近年来，半群的理论在计算机科学中得到了应用，引起人们的重视，并成为数学家和计算机科学家深入研究的对象，有了迅速的发展。
- 参考书目
- E. Hille，Functional Analysis and Semigroups， American Mathematical Society， New York，1948.
- A.H.Clifford and G.B.Preston，The Algebraic Theory of Semi groups， American Mathematical Society， Pronidence， Rhode Island，1967.
- M.A.Arbib，Theories of Abstract Automata， Prentice Hall，Englewood Cliffs， New Jersey， 1969.