[拼音]：LiMan ζhanshu
[外文]：Riemann ξ-function
复变函数
，其中s=σ+it是复数，σ>1。实变数情形的黎曼ζ 函数，L.欧拉早就讨论过。利用算术基本定理可以证明：当σ>1时有恒等式
， (*)
式中
表对所有的素数求积。这一著名恒等式是L.欧拉提出的。复变数s的函数ζ(s)是（G.F.）B.黎曼于 1859年发表的“论不大于一个给定值的素数个数”著名论文中第一次提出的， 他严格证明了：
（1）ζ(s)可解析开拓到全平面，且满足函数方程
；
（2）除了s=1是一个残数为1的一次极点外， ζ(s)在整个平面上是正则的；
（3）当σ>1时， ζ(s)没有零点；
（4）当σ<0时，s=-2，-4，…，-2n，…是它的一级零点，这些零点称为ζ(s)的“无聊零点”。除此之外， ζ(s)没有零点。
（5）当0≤σ<1 时， ζ(σ)≠0；
（6）ζ(s)可能有的其他零点一定是都位于带形区域0≤σ≤1中的复零点，它们称为“非无聊零点”。此外，他还给出了一些深刻的结果，而为后来的其他人所证明，例如， ⑦在带形区域0≤σ≤1中ζ(s)有无穷多个复零点，于1893年为 J.（-S.）阿达马所证明。
（8）设T>0，以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0<t<T中的零点个数，则有
，于1905年为H.von曼格尔德特所证明。
（9）建立了ζ(s)的非无聊零点与π(x)（不超过x的素数个数）之间的一个关系式，于1894年为曼格尔德特所证明。这一关系式揭示了素数定理与ζ(s)的非无聊零点的分布有密切关系，指明了研究素数定理的方向。
黎曼还在他的这篇著名论文中提出了一个影响深远的猜测：ζ(s)的所有非无聊零点都位于直线Res＝1/2上，即所谓黎曼假设， 简记作 RH。 1974年N. 莱温松证明了ζ(s)至少有多于1/3的零点位于直线Res=1/2上。 1982年R.P.布伦特等四人证明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1， 0≤t≤81702130.19中的零点，全部位于直线Res=1/2上， 共有200000001个零点，都是一级零点。但是黎曼这个假设还没有被证明或被否定。从黎曼假设可推出一系列重要的数论和函数论方面的结果，虽然都是些假设性的(其中有的在后来被证明)，但是这些结果指出了研究ζ(s)零点的重要意义和方向。1896年阿达马和C.dela瓦莱·普桑各自独立证明了ζ(s)在直线σ=1上没有零点，并推出了素数定理。 瓦莱-普桑又于1900年证明了存在一个正常数A1， 使得ζ(s)在区域
中没有零点，并得到了有误差项的素数定理。И．M．维诺格拉多夫于1958年证明了存在一个正常数A2，使得对任意的 ε>0，ζ(s)在区域
中没有零点，其中A2和ε有关， 并改进了有误差项的素数定理。素数定理的进展是严格按照黎曼所提出的思想、方法和结果而取得的。关于ζ(s)还有下面重要结果。1918年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德证明了
。
1926年A.E.英厄姆证明了
。
他于1940年又证明了当1/2≤σ<1时，
，
式中T≥2，1/2≤α<1， N(α，T)表ζ(s)在矩形 α≤σ<1，│t│≤T中的零点个数（见素数分布）。此结果已被不断改进。通常把这类结果称为零点密度定理。
黎曼首先提出用复变函数论特别是ζ(s)研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。