[拼音]：Gede’er buwanbeixing dingli
[外文]：Gdel's incompleteness theorem
发表于1931年。它包括两个定理：
第一不完备性定理 设S 是包含算术系统在内的任意形式系统，则存在命题F使得F和它的否命题塡F都在S中不可证。这里的F也称为系统S内的不可判定句。
第二不完备性定理 在上述形式系统 S中不能证明它本身的协调性。
K.哥德尔最初想证明希尔伯特计划中企图证明的形式数论系统和形式实数系统的协调性。他的想法是：
（1）证明形式数论系统的协调性；
（2）证明形式实数系统对于形式数论系统的相对协调性。他认为①是容易证明的，因此首先考虑②的证明。在考虑②的过程中发现了第一不完备性定理，证明的方法主要是对角线方法。
希尔伯特想要在各个古典数学形式系统里，用有穷方法证明本系统的协调性。第二个完备性定理证明了即使在形式数论系统中希尔伯特计划也无法实现，需要另谋其他出路。希尔伯特猜测只要适当选择比系统内所含有工具更强的工具就可以证明形式数论系统的协调性。果然在1936年G.根岑实现了他的猜测。
哥德尔给出的上述S 内不可判定命题的直观意思是“F在S内不可证”，即它的直观是逻辑性质的。后来J.帕里斯给出了一个S内不可判定的命题，它是有明显的数学性质的真命题。在裴里斯之后一些数学家们又做出了不少有意义的工作，其中H.弗里德曼的工作很受人注意。
第一不完备性定理的证明方法对递归论的早期发展有很大影响。