[拼音]：Zhu Shijie
中国元代数学家，字汉卿，号松庭，北京附近人。著有《算学启蒙》(1299)、《四元玉鉴》(1303)传世。他和秦九韶、李冶、杨辉一起被称为是中国宋元时期著名的数学家。
关于朱世杰的生平，遗留下来的资料甚少。在别人为他的著作所写的序言中有：“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众”；“汉卿名世杰，松庭其自号也，周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”，由此可知，朱世杰曾以数学教学和数学研究为业游学四方。他从事这些活动的时代，大约是在13世纪后期的20～30年和14世纪开头的10～20年之间。
《算学启蒙》 全书共三卷20门259个问题，从简单的四则运算入手，逐步深入，直至高次开方、天元术等较高深的内容，形成了比较完整的体系，是一部当时较好的启蒙数学书。全书之首，朱世杰列出了各种常用数据、基本运算法则、歌诀等共18条。其中的归除歌诀与后世珠算所用歌诀完全相同；所给出的正负数乘除法法则，在中国数学史上也是首次出现。
《算学启蒙》继承了《九章算术》以来中国古代数学的传统，书中问题大都与当时的社会实际生活有关，对元代社会史、经济史的研究，有一定参考价值。此书曾流传至朝鲜和日本。中国现存的《算学启蒙》，就是根据1660年朝鲜刻本于1839年翻刻的。
《四元玉鉴》 全书三卷 24门288问。从所包含的数学内容来看，高次方程组(最多可包括四个未知数)解法、高阶等差级数求和、高次内插法等等都是书中的重要内容。
在宋代天元术和增乘开方法的基础上，13世纪中叶以后，在河北、山西等地，天元术迅速发展成为四元术。祖颐在为《四元玉鉴》所写的后序中说：“平阳（山西临汾）蒋周（13世纪）撰《益古》，博陆(河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉（河北获鹿）石道信撰《钤经》，平水（山西绛县）刘汝谐撰《如积释锁》，绛（山西新绛）人元裕细草之，后人始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》，兼有地元。霍山（山西临汾）邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》，末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之颐，索《九章》之稳，按天地人物立成四元，……”，其中讲的正是这一段由天元术发展到四元术的历史。
众所周知，求解多元方程组问题的关键是消去法。莫若、祖颐为《四元玉鉴》所写的序中有：“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物一于上……”，“……考图明之，上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚问实，错综正负，分成四式。必以寄之、剔之、余筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会，以成开方之式也。”其中讲的正是四元式的表示方法和消元方法。设以x、y、z、u表示四个未知数（当时为天、地、人、物），把常数项放在中央（记为“太”，此即所谓“元气居中”），各未知数的各次幂依次放在上下左右，而各未知数各次幂的两两乘积则置于平面的相应位置上(图1)。
例如x+y+z+u可表示如图2；而 
可表示如图3。这既是四元方程，也是四元多项式的表示方法。显然，这是中国古代位值制记数法的又一次新的发展。
四元式的加减法，以常数项为准，将其余相应各项相加减即可。以未知数的整次幂乘除，将整个四元式上升下降，左右进退即可。以四元式中某行乘另一四元式，等于将该行各项分别乘以四元式之后诸四元式之和。四元式乘四元式等于以一式各行乘另式所得诸四元式之和。
这是中国，也是世界数学史上最早出现的关于多项式的运算。
以二元方程组为例，朱世杰的消去法相当于把方程组看成是（假如最高次数为2次）
式中A0、A1、A2、B0、B1、B2均只含x不含y的多项式，则以B0乘(1)，A0乘(2)相消之后得：
(3)
同样(1)、(3)或(2)、(3)相消得：
(4)
(3)、(4)相消即可得出只含一个未知数的方程。方程组次数高于2次，三元或四元方程组，都可用此消去法来求解。这也是世界上最早的多元高次方程组的解法。
此外，高阶等差级数求和、招差法等则是朱世杰的又一项重大成就。他实际上已经掌握了公式
。 (5)
在该书中还有其他的高阶等差级数求和公式。
在招差法方面，朱世杰实际上给出了招差公式：
虽然《四元玉鉴》还只是给出了包含有四次差（Δ4）的公式，但由于朱世杰已经知道公式各项系数正是前述一系列高阶等差级数(5)式的“积”，可以认为朱世杰已经通晓了任意高次的招差法公式。这比西方要早四百余年。
综上所述，朱世杰不愧是宋元时代杰出的数学家。清代《畴人传·续编》评论他说“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（李冶）可称鼎足而三。道古正负开方、仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李两家之上”。美国著名的科学史家G.萨顿评论说：朱世杰“是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”而他所著的《四元玉鉴》则是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个中世纪最杰出的数学著作之一”。