完全数

[拼音]：wanquanshu

[外文]：perfect number

一个正整数n，其全部因数的和等于2n。例如6的因数的和是1+2+3+6=12，28的因数的和是1+2+4+7+14+28=56，所以6与28都是完全数。

公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯，就首先触及完全数问题。古希腊数学家欧几里得证明了p和2^p-1均为素数时，2^p-1(2^p-1)是一个完全数，为此而初步建立了整数的可除性理论。约二千年之后，L.欧拉证明了每一个偶完全数n都具有欧几里得指出的形状，即n=2^p-1(2^p-1)，这里p和2^p-1均为素数。1911年，L.E.迪克森给出上述结果一个简短的证明。由此可见，偶完全数与梅森数2^p-1有密切关系。

是否有无穷多个偶完全数的问题，归结为是否有无穷多个素数p使2^p-1是素数，这是数论中尚未解决的著名问题。是否存在奇完全数，是完全数中另一个著名难题，尽管有许多数学家进行了大量的工作，但至今仍未解决。L.欧拉曾经证明，奇完全数n如果存在，则n的分解式为

　　 　　　(*)

式中p，q₁，q₂，…，q_t是不同的素数，α 呏p 呏1(mod4)。1888年，J.J.西尔维斯特证明了t≥4，他还指出了t=4不可能。1970年，W. 麦克丹尼尔证明了（*）中2β_j+1呏0(mod3)(j=1，2，…，t)。1973年，P.哈吉斯证明了如果n是奇完全数，那么n>10⁵⁰。1978年，有人证明了若n为奇完全数，则1980年，哈吉斯还证明了如果存在奇完全数n，则n至少有8个不同的素因子。