稳健统计

[拼音]：wenjian tongji

[外文]：robust statistics

数理统计学的一个方面，研究当总体假定稍有变动及记录数据有失误时，统计方法的适应性问题。一个统计方法在实际应用中要有良好的表现，需要两个条件:一是该方法所依据的条件与实际问题中的条件相符；二是样本确是随机的，不包含过失误差，如记录错误等。但实际应用中这些条件很难严格满足，比方说，原来在提出该方法时是依据总体分布为正态分布的假定，但实际问题中总体的分布与正态略有偏离；或在大量的观测数据中存在受到过失误差影响的“异常数据”等。如果在这种情况下，所用统计方法的性能仅受到少许影响，就称它具有稳健性。

稳健性一词是G.E.P.博克斯在1953年提出的，但关于稳健性的思想，可追溯到20世纪初期，有些稳健性统计方法，如下文提到的修削平均，使用还要早些。从1960年J.W.图基发表他的工作以来，这方面的工作得到更多统计学家的重视。1964年P.J.休伯发表了他关于M估计的工作，进一步推动了它的发展。到1980年为止关于这方面的工作，已由休伯写成专著。

对总体分布的稳健性

设当总体分布为F时，统计方法T的某项性能指标为A_T(F)，例如，T可以是F的数学期望的估计，而A_T(F)为T的方差;若在某项实际应用中，真实的总体分布为F^*，而该项性能指标取值A_T(F^*)。以距离p(F，F^*)刻画F与F^*的差异，比如，p(F，F^*)可以是｜F(x)-F^*(x)｜对x取的最大值。如果当 P(F，F^*)充分小时，｜A_T(F)-A_T(F^*)｜也充分小，则称方法T具有对总体分布的稳健性。可见，统计方法的稳健性与考虑的性能指标有关，也与分布的距离p(F，F^*)的定义有关。因此，怎样定义适当的距离p(F，F^*)，研究各种距离的性质及相互关系，怎样选择适当的性能指标作为衡量稳健性的依据等，是稳健统计研究的一方面的内容。

通常使用的很多统计方法，是在总体分布为正态的前提下导出的，理论上也证明了，在正态总体的情况下这些方法具有某种优良的性能。但在大多数具体问题中，正态假定往往只是近似地满足，若一个统计方法缺乏稳健性，则它理论上可能有某种优良性能，而在实际应用中却表现很差，甚至面目全非。因此，稳健性的研究是一个有很大实际意义的课题。

图基在1960年提供了这样的例子:设x₁，x₂，…，x_n是抽自正态总体N(μ，σ²)的样本，要估计σ，常用的估计量 是σ的最大似然估计（见点估计），它有一系列的优良性质。另一个可供选择的估计量是平均绝对偏差

如果以估计量的方差来衡量其优良性（方差愈小愈好），则当总体分布确为N(μ，σ²)时，捛_n优于d_n，因为可以算出，当n→∞时，捛_n的方差与d_n的方差之比值趋于0.876，比1小。但是，如果实际问题中的总体被一个方差较大的正态总体N(μ，9σ²)所“污染”，即有一个很小的 ε>0，使真实的总休分布为，其中是标准正态分布函数，则可以算出，当ε=0.05时，捛_n和d_n的方差比的极限超过2。就是说，即使像0.05这么小的污染程度也足以使捛_n远不如d_n的一半。因此捛_n作为σ的估计稳健性较差，而相对地说d_n的稳健性就较捛_n好。

理论研究表明:像F检验(见假设检验、方差分析)之类的与总体方差有关的统计方法，其性能多与总体的正态性有较强的依赖关系，稳健性较差；而与总体均值有关的统计方法，如t检验之类，稳健性相对说来要好一些。

对异常数据的稳健性

由于在大量次数的试验或观测中，很难完全避免出现个别疏忽，因此，要使统计方法有较好的稳健性，就必须要求，它所依据的统计量不受个别异常数据的太大影响。一个典型的例子是用样本均值或样本中位数（见统计量）去估计正态分布的均值，前者受个别异常数据的影响较大，而后者则几乎不受到影响，故从稳健性角度看，后者优于前者。介于两者之间的有所谓修削平均，即给定自然数k<n/2（n为样本大小），把全部样本x₁，x₂，…，x_n中最大的k个和最小的k个舍弃，余下的n-2k个的算术平均值称为修削平均值，k愈大，修削愈多，如果有少量异常数据混入，则在修削时被舍弃了，因而不致造成危害。这是一个较早的稳健统计方法，但被广泛使用。

为获得对异常数据的稳健性，有两个途径：一是设计出有效的方法以发现数据中的异常值，从而把它们剔除。这已成为数理统计学中的一个重要课题，积累了不少成果。另一个途径是设计这样的方法，使样本中的个别数据不致对最终结果有过大的影响，如用最小二乘法求参数估计时，是根据使偏差平方和为最小的原则，从而若有个别偏差特大的数据，其对结果的影响很大，故基于最小二乘法的统计方法的稳健性一般较差，若改用绝对偏差和最小的原则，则稳健性有所改善。

稳健性与效率

使统计方法具有稳健性，在一定的意义上可以看成是一种“保险”:付出一定的保险费，以避免遭受重大损失，保险费就表现为方法在效率上的降低。例如，用样本中位数估计正态分布均值，在稳健性上比用样本均值好；但如情况没有异常，即总体分布确为正态，并且无异常数据，则样本中位数以方差大小衡量的效率，约只有样本均值的三分之二。稳健统计的一个任务，就是设计有稳健性的统计方法，而使其在效率上的损失尽可能小。

与非参数统计的关系

非参数统计方法往往有较好的稳健性，而一些稳健统计方法常要用到非参数性质的统计量，因此二者关系密切。但从性质上看二者是不同的：非参数统计中，对总体分布的假定很少；而稳健统计则一般是从一个确定的参数性模型（如正态模型）出发，考虑当模型条件有少许扰动时的后果。因此，稳健统计本质上属于参数统计的范畴。

参考书目

1. P.J. Huber，Robust Statistics，John Wiley & Sons，New York，1981.