非线性振动

[拼音]：feixianxing zhendong

[外文]：nonlinear vibration

大多数振动系统可简化为线性振动系统。可是，有些振动现象不能用线性理论来分析，如果将这些振动线性化，将使系统的性质改变。这类振动应按系统本来的非线性性质进行研究，其运动微分方程式是非线性的，称为非线性振动。

物体在稳定平衡位置附近的微小振动，往往可以看成线性振动。但大的振动，大都是非线性振动。在工程中常碰到的切削自振、油膜振荡等等许多自激振动的实例也都是非线性振动。又如在机械工程中的共振筛、共振运输机等，其主振弹簧如采用线性弹簧，则振幅不稳定，如采用非线性弹性元件，就可克服以上缺点，得到较稳定的振幅。

描述非线性振动的微分方程，其一般形式为

。

非线性振动的物理特性

频率和振幅间的关系

线性系统的固有频率与振幅大小无关。非线性系统的固有频率ωj随其振幅A大小而变化。对于硬特性系统，固有频率随振幅增大而提高；对于软特性系统，固有频率随振幅增大而降低。

跳跃和滞后现象

如图所示，图中表示由质量、力阻和非线性弹簧组成的振动系统在外力作用下振动，振幅A和相位φ随激振力的圆频率ωj变化的关系。若频率继续增大，则振幅自b点突然降到с点，发生一个跳跃，此后，若继续增大ωj时，振幅沿сd逐渐减小，反之从高频开始，逐渐减小激振频率时，受迫振动的振幅沿dсefa变化，在e点又发生一次跳跃，突然上升到f点。这种现象称为跳跃现象。

当激振力频率ωj增大和减小过程中，振幅跳跃时的频率值是不同的，来回所经过的线路形成一个回线。这种现象幅频响应的称为滞后现象。

如下图所示，不仅振幅有跳跃现象，相位也有跳跃现象。

图 分谐波和谐波

与线性系统不同，在简谐激振力作用下的非线性系统，受迫振动不一定是简谐振动，响应波形中， 含有频率等于ωj/n的分谐波及频率等于nωj的谐波（这里n为正整数）。一般来说，谐波响应在非线性系统中都或多或少地存在，分谐波响应则只有在一定条件下才能产生。由于分谐波和谐波振动的出现，非线性系统共振频率的数目将多于系统自由度的个数。

组合频率响应

如果非线性系统在两个激振力，即F1sinωt和F2sinωt作用下，系统出现组合频率mω±nω (m、n为整数) 的受迫振动。在一定条件下某个组合频率的分量要比其他分量大得多。

叠加原理不适用

由于各激振力之间有相互响应，非线性系统在多个激振力作用下的影响不是各个激振力单独作用下系统响应的简单叠加。

频率俘获现象

频率俘获现象是非线性系统的一种现象。如自激振动系统以频率ωo自振时，受到频率为ω的激振力作用，当ω与ωo接近到一定范围，拍振就消失，出现一个简谐运动，即频率ωo与ω进入同步，这个现象称为频率俘获，产生俘获现象的频带称俘获带域。

在工程中，两个以上并联工作的机械激振器的同步，检验钟表计时准确等，都利用了频率俘获这种现象。

求解非线性振动的常用方法

研究非线性振动的方法可分为定性的和定量的两类。定性方法主要研究运动方程积分曲线的分布情况，直观地分析振动的情况，观察参量变化对振动的影响。定量方法则可作数值计算。由于非线性振动的复杂性，至今还没有一个能适用于各种情况的方法，也只有极少数问题可以求得精确解，对大多数问题来说，只能用各种近似方法求得近似解。

非线性振动的稳定性

在非线性系统中，可能出现许多不同类型的周期运动，如谐波振动、分谐波振动等，其中有些运动是不稳定的。跳跃现象就是由于系统存在有不稳定运动的缘故。

稳定性问题在工程中有很重要的意义，有时判断系统在其平衡位置是否稳定，或可能出现的运动是否稳定，往往比求得运动的准确形态本身还重要。例如机械工程中常碰到的自激振动问题，重要的是判断系统在什么条件下会产生自激振动，即判断系统的稳定性及系统各参量对稳定性的影响，而不需要去求自激振动产生后振动的准确频率和振幅。又如同步电机的“失步”，也是一个稳定性问题。

参考书目
  1. S.提摩盛科著，翁心?、徐华舫译:《机械振动学》，机械工业出版社，北京，1958。(S. Timoshenko，Vibration Problems in Engineering， 3rd ed.， John Wiley & Sons， New York， 1955.)
  2. W.T.汤姆逊编著，胡宗武等译:《振动理论及其应用》，煤炭工业出版社，北京，1980。(W. T. Thomson， ed.，Theory of Vibration with Applications， Prentice-Hall， Englewood Cliffs， N. J.， 1972.)
  3. J.J.斯托克著，谢寿鑫、钱曙复译：《力学及电学系统中的非线性振动》，上海科学技术出版社，上海，1963。(J.J.Stoker， Nonlineαr Vibrations in Mechanical and Electrical Systems， Interscience， New York， 1950.)
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