电磁规律的协变形式_自然百科

[拼音]：dianci guilü de xiebian xingshi

[外文]：covariant form of electromagnetic law

狭义相对论指出，对于一切惯性参照系，物理规律都是相同的，而且不同惯性系之间的变换关系是洛伦兹变换。因此，所有描述基本物理规律的方程式，都应该在洛伦兹变换下保持不变。这种不变性就称为洛伦兹不变性。

为了显示一个或一组物理方程的洛伦兹不变性，通常将它表示成这样的形式，使得方程中各项在洛伦兹变换下都具有确定的，并且彼此相同的变换性质。这样，当从一个惯性参照系变换到另一个惯性参照系时，就能得到相同的方程式。具有上述形式的方程就称为协变形式的方程。

电磁量的洛伦兹变换

洛伦兹变换是一个四维变换，因此在洛伦兹变换下的矢量常称为四维矢量或简记作4-矢量。例如三维空间的坐标(x¹，x²，x³)配上时刻t就合成一个4－矢量(x⁰，x¹，x²，x³)，其中x⁰=сt，с为真空中光速。此矢量称为四维时空坐标x^μ(μ＝0，1，2，3)。在电磁量（本条采用高斯单位制）中，通常的三维电流密度（j¹，j²，j³）同电荷密度 ρ 配成一个四维矢量(j⁰，j¹，j²，j³)，其中j⁰=ρс。这个矢量就称为四维电流密度 j^μ。洛伦兹规范下的电磁矢量势(A¹，A²，A³)和标量势嗞也配成一个 4-矢量(A⁰，A¹，A²，A³)，其中A⁰=嗞，称为四维电磁势A^μ。当两个惯性参照系s和s′的空间坐标轴取得彼此平行而且s′沿x轴方向以速度v相对s运动时（并取t=t′=0为两参照系坐标原点相重合的时刻）两者时空坐标间的变换关系为：

(1)

此即时空坐标的洛伦兹变换。根据矢量的变换性质，s和s┡中电流密度和电磁势也具有类似的变换关系：

(2)

由此可以得出，如果在s参照系中有一静止的均匀导体回路，其内j¹0而ρ＝0，则在s′参照系中将观测到ρ′0（见图）。如从s′参照系观测，图中AB段就将带负电，而CD段将带正电。上述电荷的出现可用洛伦兹收缩来说明。与此相应，在s参照系中嗞＝0，只有A；而在s′参照系中嗞 ┡和A′都将不为零。

在洛伦兹变换下，电场强度E和磁感应强度B合起来按一个二阶张量来变换，此张量用矩阵表示为：

它的分量记作F^μv（μ、v从0到3），并称为电磁场场强张量。在上述两个惯性参照系s和s′中的场强值，有如下的关系：

E^'1=E¹， B^'1=B¹，

(3)

当略去的小项时，上式可写作

。 (4)

v代表在s系中所观测的s′系的速度。这样，若在s系中只有电场或只有磁场，则在s′系中将同时有电场和磁场存在。以上结果表明了电场同磁场之间深刻的内在联系，实际上它们是统一的电磁场场强张量的不同分量。

电磁场的能量密度u和能流密度(S¹，S²，S³)以及动量密度(g¹，g²，g³)和动量流密度φ^ij(i，j取1到3)合起成一个二阶张量

此张量称为电磁场的能量-动量张量，并用T^μv表示。

电磁规律的协变形式

麦克斯韦方程组中的两个方程

， (5)

可以合起来用

(6)

表示，其中

v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。代表张量F^μυ的四维散度，它是一个四维矢量。这样式(6)左右两方都是四维矢量，符合协变要求。

麦克斯韦方程组中的另外两个方程

(7)

可以合起来用

(8)

表示。注意，前者代表

这是因为洛沦兹变换不是正交变换，故对于矢量和张量还必须区别为逆变和共变两类。前面所说的x^μ、j^μ、 A^μ和这里的微分算符都是逆变矢量，而微分算符则为共变矢量。式 (8)中每一项都代表一个三阶的逆变张量，故该式是协变的。

这里，对于指标(μ，v，σ)为完全反对称的，故式(8)实际上只包含四个独立的方程，它们的(μ，v，σ)可取为(1，2，3)，(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)。当(μ，v，σ)取(1，2，3)时，式(8)相应于墷·B＝0，而当(μ，v，σ)取(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)时，式(8)相应于