外微分形式

[拼音]：waiweifen xingshi

[外文]：exterior differential form

又称微分形式，是微分流形上定义的反对称协变张量场。为了在流形上引进积分理论，必须推广“被积函数”的概念。例如，平面上沿曲线C的曲线积分

可理解为一个一次外微分形式pdx+Qdy在C上的积分。类似地，空间的曲面积分和体积分可理解为二次和三次外微分形式的积分。

外微分形式理论与方法是研究近代微分几何的重要工具，它在数学的其他分支以及物理、力学中也有广泛的应用。

数学定义

设M是微分流形，T*M是它的余切丛，作它的p次反对称张量积丛∧pT*M，那么，该丛的一个截面称为p 次外微分形式(简称p 形式)。设x是M上任意一点，在它近旁引进局部坐标系(x1，x2，…，xn)，那么，在x点的余切空间T懜M中可取基dx1，dx2，…，dxn。对任何 由所张成的线性空间就是∧pT懜M，在中对换一个次序就改变一次符号。这样，p形式ω在局部坐标系下可表示为

式中是p阶反对称张量场。如果在此式中不是反对称的，或者i1，i2，…，ip不依大小次序排列，仍然可以利用的反对称性而把它改写成为标准形式。

一般地，设E是M上的向量丛，那么∧pT*M与E作张量积丛∧pT*M圱E，它的任一截面称为取值于E的向量值微分形式。

外微分形式的运算

任一p形式，它在流形上每点作为余切空间反对称张量积空间的元素自然可引进向量空间的运算，由此得到p形式的加法运算以及p形式与函数的相乘运算，其结果仍是p形式。此外还可引进下列的外积运算：设

分别是p形式与q形式。那么ω∧σ为(p+q)形式，定义为

这样，对所有r形式（r=1，2，…，n）作它们的直和，记为∧T*M，它在流形M上的每一点x构成外代数(格拉斯曼代数)。

在∧T*M上还存在外微分算子，它是满足下列性质的惟一算子：

（1）

（2）若ω1是r形式

；

（3）若ƒ是函数，在局部坐标下有

（4）d(dƒ)=0。设

，

那么dω有如下表达式

。

特殊微分形式

设ω是任一微分形式，如果dω=0，那么ω称为闭形式。对ω，如果存在σ，使ω=dσ，那么ω称为正合形式。一次微分形式也称为普法夫形式。

普法夫方程

设有r个普法夫形式那么方程组

称为普法夫方程组。

如果一个由 r个独立的普法夫形式ωα产生的普法夫方程组具有r个独立初积分，则称为完全可积普法夫方程组。弗罗贝尼乌斯定理表明普法夫方程组ωα=0是完全可积的充要条件为存在1形式ω(α，β = 1， 2，…， r)，使

积分理论

为在微分流形M上定义积分，还要推广“积分区域”的概念。在欧氏空间中有单形的概念，p维单形是不在同一p维平面上的p+1个有序点Q0，Q1，…，Qp的闭凸包，即由

张成的点集。对p 维单形Δp的某邻域U，若有可微映射φ：U→M，那么φ(Δp)称为流形M上的可微分奇异单形。有限个p 维单形的常系数形式和C 称为p维链。对任一p维链C，它的边界дC是一个p-1维链。这样，可以利用高维欧氏空间中的普通重积分来定义任何p形式ω在p维链C上的积分。如果ω是微分流形M上的p形式，C是M上的(p+1)维链，那么斯托克斯定理给出

据此可建立德·拉姆的上同调理论（见微分流形）。

参考书目
  1. H.Flanders，Differential Forms with Applications to the Physical Sciences， Academic Press，New York， 1963.
  2. S.Sternberg，Lectures on Differential Geometry，Prentice-Hall， Englewood Clliffs， N. J. 1964.
阅读全文