[拼音]：jisuan shuxue
[外文]：computational mathematics
数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的、更有效的算法及其理论基础；反过来，在许多数学分支的研究中开始探索运用计算的方法。计算数学的发展对数学科学本身也产生愈来愈大的影响。近年来，由于计算机的发展及其在各种科学技术领域的应用的推广与深化，计算性的学科新分支，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算经济学以及众多工程科学的计算分支纷纷兴起。因为任何具体学科中的计算过程，不论其目的、背景和含义如何，终归是数学的计算过程，计算数学是各种计算性学科的联系纽带和共性基础。因此，计算数学是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。
历史沿革
在每个人生活中的数学活动总是以记数和计算开始的，而且终其一生。计算即便不一定是数学活动的全部，但总也是与生活联系最直接、最密切的一环。在人类的数学发展的历史中，计算也占有类似的地位。数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。
中国古代数学曾有辉煌的成就，而尤以计算性和实用性见胜，这是与古代数学的另一个渊源 (以概念性及推理性见长的古典希腊数学)有所不同的。中国在公元前14世纪的商代就基本形成了十进的位值记数制，而在印度则直到公元6世纪才出现，流传到西方则更晚。中国春秋战国时期就形成并发展了算筹，作为通用、有效的计算工具。以后又改进演化成为算盘，相应发展了珠算方法；中式算盘及其变种在世界上许多国家（包括东方各国和俄国）一直沿用至今。
公元前 2世纪中叶希腊阿基米德提出曲直转化极限趋近的方法，并据此算出有一定精确度的圆周率π值，这种方法的思想是微积分的先驱。中国北魏的刘徽也独立地提出类似的思想，发展了“割圆术”，计算出π≈3.1416。5世纪中国南朝刘宋的祖冲之发展了缀术，据此算出更为精确的π值，领先于世界1000多年。
在代数方程解法方面，中国古代有很高的成就，公元前 1世纪汉代《九章算术》一书记载了开平方和开立方的算法，书中所述的解一元二次方程的盈不足法就是13世纪后在欧洲出现的“试位法”，书中还有一章讲述联立一次方程解法的，这种解法本质上就是近代的消元法，比欧洲早出现了1000多年。关于高次代数方程的近似解法在《九章算术》中已具雏形，到宋代秦九韶(1247)和元代朱世杰(1303)发展完善，相当于近代的霍纳算法(1819)。
15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展，数学发展的主要舞台移至欧洲，而在中国则趋于衰微。以解析几何学及微积分学为标志，近代数学开始形成发展，数值计算方法也有相应的进步。各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。I.牛顿、L.欧拉、 J.-L.拉格朗日发展了一般插值方法与差分方法，C.F.高斯和∏.Л.切比雪夫分别对于均方模量和绝对值模量发展了最优逼近的方法与理论。在高次代数方程方面发展了牛顿迭代解法以及其他种种求根方法。在线性代数方面发展了高斯、若尔当消元法以及各种迭代法。微积分和微分方程发展的同时，也出现了数值计算的新领域──微分方程的离散化与数值解法。由于科学技术的发展和实践的需要，人们开始认识到数值计算的日益增长的重要性。但是，直到20世纪40年代，由于社会生产规模的制约，特别是技术手段和计算工具条件的不足，数值计算的发展比较缓慢，对科学研究和工程技术所起到的作用也是比较有限的。
到了20世纪40年代，由于实践的需要特别是军事上的需要，也由于技术条件的成熟，在第二次世界大战开始酝酿，并于40年代末期制成电子计算机，这是人类的计算工具的一项革命性进展。它在诞生之始，在计算速度上要比原有人工操作的机械式计算工具提高了3～5个量级。30年来，伴随着半导体与集成技术的进步，计算机又有不停顿的迅速发展，平均每五年性能价格比提高一个量级。这就使得愈来愈多的、以前不能设想的、难度和规模日益增大的计算问题的解决，在技术上和经济上成为可行的。在这样新的条件下，计算在整个科学技术以至经济生活中的重要性得到前所未见的提高；同时，以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学──计算数学──开始形成并迅速发展。
作用与意义
每一种科学工具的创新，都能推动有关科学的进步，而推动的程度总是与工具性能的提高相应的。如望远镜、显微镜、加速器等工具的作用，都延伸和强化了人的特定的观察能力，从而带动了有关的特定科学领域，如天文学、生物学、高能物理学等。由于计算机是一种能延伸和强化人的思维智能的工具，工效上又有极大提高，并且具有高通用性，所以它的作用将深刻影响到一切科学技术领域。计算机的出现正在把计算的手段推向人类科学活动的前沿，计算的方法正在上升为科学方法的一个主要环节。
15世纪以后，近代科学在欧洲兴起，特别重要的是，以伽利略为代表系统地引进了科学实验方法，和稍后以牛顿为代表提高完善了科学理论方法。实验与理论并列成为科学方法的两个对等环节，推动了近代科学的发展。当前科学计算正在兴起并形成与科学理论、科学实验鼎足三分之势，这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的最大进展。
在现代自然科学与工程技术中，基本规律的精确表达形式大都采用微分方程，但用当代数学解析方法能对其求解的方程仅限于常系数、线性、规则区域等少数“初等”的情况，对绝大多数的变系数、非线性、不规则几何等复杂问题，数学解析的方法几乎无能为力，这种情况在今后相当长的时期内也不可能改变，若采用数值计算的方法，再借助于计算机，从原则上说，对解决非线性方程和其他复杂问题没有不可逾越的障碍。计算的方法对那些理论上难以处理的问题能给出丰富的、系统性的感性启示，也能为工程设计提供急需的、关键性的定量依据。另外，对那些精确性尚不成熟、数学模型尚未定型的问题，利用数值模拟计算可进行多方案的对比筛选，这对过程的理解和正确模型的建立极有帮助。因此，对理论方法而言，计算的方法是与它相辅相成的，也可以补充其不足，还可以指导其发展，甚至部分取代。当然，对科学问题的完整解决，理论方法是不可缺少的。
在计算方法与实验方法之间也有类似的关系。在很多基本物理规律业已明确、数学模型业已定型的科学领域中，计算手段所取得的成果，其精确可靠性已经接近，达到或超过实验手段的结果，数值试验还可以直接模拟客观世界的现象与规律。实验手段往往费人、费时、费钱，而且在一些异常条件下进行实验是非常艰难，甚至非常危险的。这时，计算的手段就成为非常关键甚至是惟一可行的办法。当然，对于物质世界的新现象新规律的探索，实验手段是不能替代的。
综上所述，现代科学方法的三个环节，理论、实验、计算是相辅相成、相对独立、可以相互补充替代而又彼此不可缺少的。
科学计算，作为一门工具性、方法性、边缘性的新科学已经开始了自己的迅速发展。它的物质基础就是计算机（包括其硬件软件系统）；它的知识和理论基础主要地就是计算数学。美国数学家J.冯·诺伊曼对于科学计算和计算数学的兴起和形成都作出了重要贡献。
当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步。计算机和计算方法的发展是相辅相成，相互制约和相互促进的。计算方法的发展启发新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求。自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历一个重新评价、筛选、改造和创新的过程；与此同时，涌现了许多新概念、新课题和许多能够充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法；这就构成了现代意义下的计算数学。
研究内容
概括地说，整个计算数学大致可分为两个大方面：一个方面是离散型方程的数值求解；一个方面是连续系统的离散化。计算数学理论的基本概念包括：误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量、自适应性等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性。从数学问题的来源或类型来看，计算数学则包括数值代数、最优化计算、数值逼近、计算几何、计算概率统计、数学物理方程数值解等。
数值代数包括线性代数、高次代数方程、超越方程和非线性方程组数值解法，属于有限维离散型问题。由于实践的需要，大型的稀疏系统是这个领域的主要对象。计算机有限字长引起的舍入，使得算术的结合律、分配律不成立，从而产生数学公式等价而算法不等价的问题，不同的算法结构产生差别很大的计算误差，数值稳定性正是刻画算法这一特性而受到应有的重视。由于方程组的规模愈来愈大，从算法上考虑节省计算量、存贮量的迫切性和潜力也愈大。传统高斯消元法的各种变形，正是从数值稳定性、计算量、存贮量几个方面考虑的。稀疏技术、一般的特大型稀疏线性方程组的求解方法、非线性方程大范围收敛的求解方法是这个领域的重要课题。
数值代数的一个重要方面是快速算法。快速傅里叶变换 (FFT)是计算有限傅氏级数即周期性离散傅氏变换的一种递推算法。它把N点变换计算量从传统的O(N2)降至O(Nlog2N)，对实践上要求的大N，工效提高了若干数量级，基本上克服了所谓“时间域”与“频率域”转换的计算障碍，为调和分析方法在许多科技领域，特别为谱析、全息、信号处理、图像处理等方面广泛应用计算机开辟了道路，也推动了各种快速算法的研究和计算机阵列式处理器的研制和发展。
最优化计算包括线性规划、非线性规划及动态规划等几个方面的计算方法，其中又可分为无约束极值和约束极值两类。线性规划是理论成熟应用最广泛的部分，基本的算法是单纯形方法。由于实际问题一般都包含众多未知量，寻求快速算法是很迫切的问题，在这个方面，线性规划的多项式算法近几年来有很大进展。
数值逼近研究函数的离散逼近、数值微分、数值积分等。这部分与数值代数构成计算数学的基础部分。函数的离散逼近特别是各种方式的函数插值，是连续系统离散化的基本步骤。实践和理论表明，分片低阶插值比高阶插值有更好的数值稳定性，特别是其中的有限元形状函数与样条函数等，因其种种优良性质而被广泛应用，是重要的发展方向。
计算几何研究静态或动态的几何形体及其视象的离散化、逼近与生成的计算方法。这是一个兴起较晚的新分支，但发展迅速，对于计算机制图、计算机辅助设计、计算机辅助制造、计算机动画、计算机视像、机器人技术等众多领域都有重要的应用。
计算概率和计算统计包括多元统计分析计算、时间序列分析计算、马尔可夫链计算和数字滤波等。这方面的计算是根据实际问题的概率统计模型、对试验观测数据或随机模拟数据进行统计分析处理、给出实际问题性质的统计描述、统计控制或统计预测的数值结果。
蒙特卡罗法是计算机诞生后由冯·诺伊曼与S.M.乌拉姆倡导的一类新型计算方法，它将求解的数学问题(离散型或连续型)化为概率模型，在计算机上实现随机模拟，以获得近似解。这种方法的优点是：对于问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关。因此它特别适应于很高维数的数学物理问题，如玻耳兹曼方程、薛定谔方程等等。
数学物理方程的数值解法研究把数理方程进行离散化和对离散方程求解以及有关的理论基础问题。数学物理方程的问题可以分为正演问题和反演问题两类。它们大量出现在物理、力学、地球物理等学科以及国民经济、国防的实际课题中。
正演问题是给定方程、再加上规定具体环境的定解条件，包括初始条件、边界条件等，由此求解以便定出因果关系和过程演化的定量特征，起着由因推果的作用。正演问题数值解法包括常微分方程、定常和非定常偏微分方程、积分方程、积分微分方程的初值问题、边值问题等的数值解法。
微分方程的离散化主要有有限差分方法与有限元方法两大类。有限差分方法历史悠久，导源于牛顿、欧拉，它以差商代替微商，将微分方程离散化为差分方程。R.库朗、菲德里克斯与H.卢伊于1928年证明了三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，成为现代理论分析的先导。差分法简单通用，适用于任何类型的方程，又便于机器实现，在计算机诞生以后得到了很大的发展与推广应用。冯·诺伊曼于1948年对无粘流体（非线性双曲型）方程提出了引进人工粘性项的差分方法。它不考虑间断性（激波）而使之在应该有的地点时刻自动呈现或被捕捉，与此同时他提出了计算稳定性的重要概念和稳定性分析的线性化傅里叶方法。其后拉克斯、R.D.里希特迈耶建立了一般差分格式的收敛性、稳定性等价定理。人工粘性法是现代流体计算的主导方法之一；这种自适应的算法思想也给其他计算方法的发展以很大启发和影响。
有限元方法是针对椭圆型方程边值问题的一个新的离散化方法，它基于等价的变分原理的形式，采取任意格网分片逼近的手段，把传统上对立的差分方法与里茨-加廖金变分方法有机地结合起来，扬长抑短，发展成为解算定常问题的主导方法，并推广应用于非定常问题，也开辟了理论研究的新方向。有限元具有几何上灵活适应的突出优点，特别适合于解决复杂性大的问题，并便于机器实现，在众多科学技术领域特别是工程设计中业已普遍应用，促进了设计的精密化、优质化和计算机化，带动了工程应用软件的发展。
数学物理方程、特别是非线性方程的差分格式与有限元格式的构造、解法、稳定性、收敛性、病态性、奇异性、无穷区域、自适应方法、多重网格方法等都是重要的研究方向。
反演问题是在给定方程的模式下，已知其解或解的某一部分，要求反推该方程的系数、源项或边界的形式等等，起着导果求因的作用，大凡为要探查不可达、不可触之处的形貌性态，就可提出适当的数学反演问题。70年代 X光分层扫描计算机化构像的发展就是一个范例。在科学技术和工程实际中，特别在医疗卫生、无损探测、遥感遥测、地震勘探、地球物理等领域中存在着大量的反演问题等待解决，它们通常是不适定的、病态的，有其特殊的难点。这是一个正在开拓中的，理论上和应用上都很重要的新领域。
计算方法研究的成果最终要落实为数值软件的形式，为科学技术和生产实践服务，形成为生产力。数值软件的研制除了要吸取一般软件理论和技术以外，还有本身的特定的问题。这些问题对解题效率和使用方便都有极大关系，形成了一个新的研究领域。
并行计算机（包括单指令流多数据流的向量机和多指令流多数据流的多处理机）的发展，给计算数学的研究带来了新课题。改造现存的有效算法及数值软件包使之适应并行计算机，特别是设计新的高效率的并行算法，也成为计算数学中一个特别活跃的新领域。
在中国的发展
根据1956年制定的国家科学规划，计算数学在中国开始发展，30年来计算数学发展迅速，在计算数学的应用研究和基础研究上取得了许多重大成果，为国家解决了大量经济建设和国防建设中的重要科学计算课题，其中重要的有：从20世纪60年代开始，中国核工业部第九研究院周毓麟等集体研究与完成了大量大型科学计算课题，为中国原子弹的研制成功、氢弹原理的突破和发展作出重大贡献；60年代初，中国科学院计算中心冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础；华罗庚等对于高维数值积分的数论网格方法作出重要贡献。