集合论

[拼音]：jihelun

[外文]：set theory

数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以看做是整个现代数学的基础，至多范畴论除外。

集合论是G.（F.P.）康托尔于19世纪末创立的。它的发展经历两个阶段:1908年以前称为朴素集合论;1908年以后又产生了所谓公理集合论。后者不外乎是前者的严格处理；由于广泛使用数理逻辑的工具，它又逐渐成为数理逻辑的一个分支，并从60年代以来获得迅速的发展。

康托尔的朴素集合论

集合论产生的背景是分析学，特别是三角级数发展的需要。当一个以2π为周期的周期函数ƒ(x)在(0，2π)上表示成三角级数（例如它的傅里叶级数）

时，人们很自然地会提出下面的问题：这个表示是否是惟一的？这问题也可改述为：如果该级数在(0，2π)上都收敛于0，是否它所有的系数 α_n、b_n皆为0？G.康托尔于1870年对这个问题给予肯定的回答。以后他进一步研究，如果上面条件减弱为：级数在(0，2π)上除若干（有限或无限）个点外均收敛于 0，那么是否还能保证所有的α_n，b_n皆为0?正是由于研究这种不影响惟一性的例外点集的需要，G.康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰过的结构复杂的实数点集。这是集合论研究的开端。

1874年G.康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下了这样一个定义：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看做一个整体，就称为一个集合（简称集），其中各事物称为该集合的元素（或成员），也说它属于该集合。事物α属于集合A记为α∈A。这样，中国现有直辖市、《阿 Q正传》中出现的不同汉字、全体自然数、平面上所有直线等等都是集合的例子。有了集合概念之后，就可进一步定义集合S的子集T吇S，幂集P(S)，集合的并S∪T、交S∩T，笛卡儿直积S×T，以及集合上的关系，集合到集合的映射等一系列概念（见集合、映射）。在朴素集合论里，这一切都是很直观明显的。

G.康托尔的卓越成就是关于无穷集的研究。他把适用于有穷集的不用数数而判定两集合一样大的一一对应准则推广到无穷集。元素间能建立一一对应的集合称为等势。一个无穷集可与它的一个真子集等势，这与传统的观念“全量大于部分”矛盾，但G.康托尔认为这恰恰是无穷集区别于有穷集的特征。他称与全体自然数N 等势的集合为可数（无穷）集。当他证明了全体有理数和全体代数数都是可数集合之后，1873年出乎意外地发现，全体实数R这一无穷集竟不是可数集，他在证明中应用了著名的对角线方法。这一事实说明，无穷集并非清一色地都是可数集，它们之间还是存在着差别。在这基础上，G.康托尔于1878年引入了对有穷集无穷集都适用的“集合的势”后来又称为基数的概念。势是通常“个数”概念的推广。最初，G.康托尔把势定义为等势集合类共性的抽象，后来（F.L.）G.弗雷格与B.A.W.罗素改为等势类本身。集合S的势记为|S|，如S={北京、天津、上海}，则|S|=3。利用等势的概念可将有穷集存在的大小关系推广到无穷集。例如可以说实数集R 的势大于自然数集N 的势。因为可以证明R的势等于N的幂集P(N)的势，所以也有｜N｜<｜P(N)｜。1883年G.康托尔得到更一般的结果(康托尔定理)，即｜S｜<|P(S)|对任何集合S都成立。因此，如果从N出发不断做幂集，那么在序列N，P(N)，PP(N)，…中，每一个的势将比前一个大，而且每次至少要大一个“数量级”。也就是说，在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。

上面对无穷集的讨论中，只考虑到集合中元素的多少，没有考虑这些元素间可能出现的顺序。但当人们通常要比较两个元素很多的集合的大小时，总是先把它们分别排队，然后齐其一端，依次配对来比较两队的长短。由此可知排有顺序的集合的重要性。G.康托尔从1883年起开始研究有序集合，特别是其中的良序集，即每一子集都有第一个元素的有序集。为了刻画良序集的结构，他引入序数的概念。他把序数定义为良序集的序型，可看作用来编序的自然数（第一、第二、第三、……）的推广。序数可以比较大小。而且任一序数之后，甚至任一序数集之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。因此，如果用ω表示自然数集（按自然顺序）的序数，并采用序数算术的记法，那么，将所有序数，从0开始由小到大排起来，就形成如下的无穷序列：

这样，G.康托尔就给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之于自然数。这充分体现了G.康托尔惊人的想象力。利用序数可以把良序集编号，并将数学归纳法推广到自然数以外去（见超限归纳法）。良序集及序数的研究加深了对于基数的理解。1904年E.F.F.策梅洛证明了任一集合都可良序化（良序定理），将基数等同于一个序数，这才解决了基数可比较大小这一根本的问题。此外，同序数一样，任一基数之后，甚至任一基数集之后，恰好有一个在大小顺序上紧紧尾随的基数。因此可将所有超限基数按序数来编序，这就是所谓阿列夫的谱系(其中₀是最小无穷集可数集的基数)，它可无限延长下去。 超限序数和超限基数一起构成了一幅“无限王国”的完整图景。它们所以还称之为数，是因为无论是基数和序数都各有自己的算术。就基数而论，加法和乘法都很简单，不仅服从通常运算规律（序数就不服从交换律：ω＋1≠1＋ω），而且当0<α≤b且b超限时，总有α＋b=b，α·b=b，但方幂则复杂得多，至今还有很多问题没有解决。

以上关于序数、基数的理论是 G.康托尔于 1895、1897年在以《关于超穷集合论的基础》为题的两篇文章中发表的。

集合论的公理化

“无限”是一个重大的哲学问题。自亚里士多德以来直到19世纪的许多大数学家如C.F.高斯，A.-L.柯西等都只承认潜无限：例如，无限展开的自然数列1，2，…，n，…;可以无限延长的直线；永无休止的时间等等。潜无限是由有限量不断变化而形成的，它变化的每一步都是有限量，但都蕴含着一种潜在的趋向无穷的可能性。G.康托尔则研究实无限。在他那里，自然数集不是一个一个潜在地向无限变化，而是“一下子”全都呈现在我们面前。前面提到的超限基数₀、₁，及超限序数ω等刻画的无穷集，都是道道地地的实无限。G.康托尔关于实无限的集合论，一开始就遭到当时权威L.克罗内克，（J.-）H.庞加莱等人的非难，说它不是数学而是神秘主义，是病理学上的病例。但由于它应用在分析、拓扑和测度论上的成功，更多的数学家倾向于接受它，有的还极力拥护它。D.希尔伯特赞誉G.康托尔的超限算术是数学思想最惊人的产物。集合论受到非难，并不仅是因为哲学观点和数学上的思想分歧，严重的困惑来自集合论内部。1900年前后在集合论中出现了悖论。按照朴素集合论的观点，所有集合的全体也应构成一个集合V，这V的势应不小于其他任何集合的势，但由康托尔定理，它又明明小于其幂集P(V)的势，这就出现矛盾（康托尔悖论，1899）。同样，所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合，也应构成一集合R，现在问R是否属于R？如果R属于R，则R 满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则不满足R的定义，因此R 应属于自身，即R 属于R。总之，不论哪种情况，R属于R 与R不属于R应同时成立，这也是矛盾(罗素悖论，1903)。这类悖论（特别是只涉及“集合”与“属于”两个概念的罗素悖论）的出现表明集合论的理论是不协调的，也使得人们对整个数学推理的正确性与结论的真理性产生怀疑，酿成了数学史上的第三次危机。

为了克服悖论所带来的困难，策梅洛于1908年提出了一个公理化的方案。他认为“鉴于罗素悖论的存在，今天已不允许把任何逻辑上可定义的概念外延当作一个集合。G.康托尔原来的集合定义必然需要有所限制，但迄今又没有成功地被一个简单而无问题的定义所代替。因此别无选择，只有从现有的集合论成果出发，反求足以建立这一数学分支的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”策梅洛的公理系统以“集合”与“属于”为仅有的不加定义的原始概念，包括外延公理、空集合存在公理、无序对集合存在公理、并集合公理、幂集合公理、无穷公理、分离(子集合)公理、选择公理。此后，经过A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗的改进，又补充了替换公理和正则公理两条，通称ZF公理系统。上面的分离公理与替换公理实际上是各自包括无穷多条公理的公理模式。其中除第一与第十两条是对于集合的刻画或限制之外，其余的都是关于集合的存在性公理。特别值得注意的是子集公理：给定一个集合S和任一性质P，则S中所有具有性质P的元素构成一个集合。它不象G.康托尔那样承认一切具有给定性质P的事物总构成一个集合，而是先要有一个更大的集合，这就大大限制了集合构成的任意性。起初策梅洛公理系统中除了集合以外，还容许有本身不是集合，但可作为集合的元素的所谓原子。但在以后的发展中，人们认为这种原子对于开展数学是多余的，而将它们摒弃了。这样一来，一个集合，如果不是空集，便是以其他集合作为元素。于是一切集合，不论怎样复杂，无不是从空集出发，通过取幂集、并集、子集的步骤辗转生成的，也就是说，都呈现如下的形式:，{}，{，{}}，{，{}，{{}}}，…，这也是ZF集合论的一个特点。此外，在ZF公理系统中，不像G.康托尔那里，用共同性质的抽象来定义基数和序数(因为抽象涉及心理，是非数学的)，也不象在弗雷格和罗素那里，用等价类来定义（因为它“过大”，不在集合之列），而是选用与某集合等势（或与某良序集相似）的一个标准的代表集合作为该集合的基数（或序数）。例如，自然数0，1，2就定义为分别含有零个、一个和两个元素的集合：=0，{}={0}=1，{，{}}={0，1}=2等等。这是 ZF集合论的另一特点。由此也可看出，公理化的处理给集合论带来的高度的统一性与一贯性。ZF集合论承袭了康托尔集合论的全部成果。事实上，凡是数学所需的一切有关集合运算、关系、映射的结果以及全部基数、序数的理论全都可以从ZF公理系统中演绎出来。ZF集合论又排除了康托尔集合论中可能出现的悖论。因此，ZF公理系统是相当成功的，它确实在很大程度上弥补了朴素集合论的不足。当然，由于哥德尔第二不完备性定理，ZF公理系统作为包括自然数理论的一阶形式体系是不可能在其内部解决本身的协调性问题的。这是一切这类体系固有的局限性。

集合论的公理系统除ZF公理系统外还有好多种，其中最重要的要算1925～1937年形成的 J.冯·诺伊曼、P.贝尔奈斯、K.哥德尔的公理系统，称为NBG公理系统，它的特点是在“集合”与“属于”之外，还引入了“类”作为不定义的概念。类比集合更为概括，任一性质都可确定一个类。可以说“一切集合所成之类”，也可说“一切不属于自身的集合所成之类”。一个类是一个集合，当且仅当它是某一个类的元素。不是集合的类称为真类，上面提到的两个类就是真类的例子。 NBG公理系统优于ZF公理系统之处在于它可表述为不含公理模式而只由有限多条公理所组成的体系。可以证明，如果ZF公理系统协调则 NBG公理系统也协调（而且后者是前者的一个保守的扩张）。但由于 NBG公理系统没有ZF公理系统简明方便，所以数学家中采用得比较少（特别在科恩的工作以后）。

选择公理与连续统假设

虽然由于哥德尔不完备性定理，证明整个公理系统的协调性的努力已无意义，但是关于公理系统中某一个别公理或某一假设的相对协调性和相对独立性仍不失为研究的重要课题。在这些课题中选择公理与连续统假设占着特殊的地位。

选择公理是集合论中最著名的公理，简记为AC。最早见于G.康托尔著作中，作为一种显而易见的事实被不自觉地加以运用。1890年G.皮亚诺在证明常微分方程解的存在性定理时已注意到，在集合族里的每一个集合中是否能选出一个代表元素这一事实在论证中至关重要。1904年策梅洛在证明良序定理时明白地表述选择公理：设 A是一个非空集族，它的元素是互不相交的非空集合，则存在一个集合C，它与A中每一个集有且仅有一个公共元。其中集合C称为集族A的选取集合。1906年罗素给出了选择公理的另一表述形式：互不相交的非空的非空集族的直积不空，称为乘积公理。1908年策梅洛在他的ZF公理系统中，给出了与原选择公理等价的一般化形式，取消了集合互不相交的限制，表述为：设A是一个非空集的一个非空族，则存在一个定义于A且取值于∪A的函数 ƒ，对于A中任一元素x，总有ƒ(x∈x。这样的函数ƒ称为A的选择函数。选择公理对整个数学的影响是巨大的。与它等价的命题有良序定理、满射原理、极大原理、关系的限制映射性质、基数的和积等性质、柯尼希定理、吉洪诺夫紧直积空间定理、理想子代数的存在定理等多达一百余个。它在数学的许多分支，如分析、拓扑、代数中几乎已是不可缺少的工具。例如，可数集在无限集中的地位、各种无限定义的一致性、基数的运算、柯西极限与海涅极限的等价性、极限点与聚点的关系、不可测集的存在性、哈恩- 巴拿赫定理、线性空间的基底存在定理、素理想定理、伯克霍夫抽象代数的表现定理、域的代数闭扩张的存在性与惟一性等问题都需要借助AC或它的等价命题才能解决。但是，AC具有纯存在、非构造的性质，即在集族A已知的条件下，没有一个能行的方法把选择函数ƒ构造出来。此外巴拿赫-塔尔斯基怪球定理也是应用AC证明的，这些都使它成为数学史上继平行公理之后最有争议的一条公理的主要原因。由于AC所处的这种特殊地位，人们把包括AC的公理系统记为ZFC，以区别不包括AC的ZF系统。

连续统假设

是集合论中的一个著名猜想，简单地说就是关于直线上有多少点的问题，也称连续统问题，简记为CH。1878年G.康托尔猜测实数集的任一不可数子集与实数集等势。他称实数集为连续统。因为它的自然顺序具有戴德金连续性。任意两个连续统是彼此等势的。如果用c表示连续统基数，用₁表示最小的不可数基数，则CH可表示为₁=c。由于实数集R 的势等于自然数集N（它的势为₀）的幂集的势，即，所以CH也可写成。1900年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所做的著名讲演中把CH列为当时未解决的23个数学问题中的第一个。1908年希尔伯特又把它推广为：对于任何序数α，，称为广义连续统假设，简记为GCH。在没有选择公理的ZF系统中，GCH与下述任一命题等价：

（1）对于任何基数 λ，，若，则＝λ；

（2）对于任何无限基数，。连续统问题自从G.康托尔1878年提出以来已有百年的历史，但这问题始终没有解决，它也已成为数学史上堪与费马猜想、黎曼猜想并提的一大难题。

尽管如此，近40年来对AC和CH的研究还是取得了很大进展。1938年哥德尔在《选择公理和广义连续统假设同集合论公理的协调性》(1940)一书中证明了，从ZF推不出AC的否定，从ZFC推不出GCH的否定(因而也推不出CH的否定);即AC对于ZF，CH对于ZFC是相对协调的。但人们期待的关于它们独立性的证明却遥在25年之后。1963年P.J.科恩利用了他为之专门设计的力迫方法证明了AC对于ZF，CH对于ZFC的相对独立性，即从ZF推不出AC，从ZFC推不出CH。综合哥德尔与科恩的结果，就是AC和CH分别在ZF和ZFC中都是不可判定的。这样，连续统问题也终于在某种程度上获得了解决，成为20世纪最大的数学成果之一。AC对于ZF的相对协调性从理论上祛除了长期以来对AC的疑虑，叫人们可放心大胆地使用它。而由于它的相对独立性，人们不妨可以寻找它的替身(例如决定性公理)或研究不满足AC的模型（如索洛韦模型或费弗曼-莱维模型），正如当年非欧几何是值得研究一样。关于CH也有类似情形，人们不仅可以研究蕴涵CH的可构造性公理，也可研究代替CH的马丁公理。从公理系的角度看，探究各种不同假设所引出的各种结论，任何时候都是有益的。但是，上述CH的不可判定性（在此且不谈AC）是否意味着：可以有同时并存的两种集合论（CH成立的和CH不成立的），恰如欧氏几何与罗氏几何一样。少数形式主义者可能认为事情就是这样，但大多数数学家则不然。对他们来说，集合论不同于几何或代数等假设演绎理论，而反映了某种客观实在。在此CH或非CH二者必居其一。不可判定性只能解释为ZF公理系对于这种客观实在的描述尚未臻完善。人们还得寻找迄今尚未发现的、与其他公理协调的、可信赖的新的公理（CH或它的任一具体的否定都不具备这资格），以期在更有效的途径上来解决连续统问题。在这方面的各种尝试正在进行中，成为集合论当前研究的主流。