奇异积分

[拼音]：qiyi jifen

[外文]：singular integral

又称考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子，一种特殊的积分变换，是一维希尔伯特变换到高维欧氏空间的推广，由A.-P.考尔德伦和A.赞格蒙于1952年引入。他们就最基本与最典型的情形，证明了奇异积分算子的Lp可积性。这是奇异积分理论的奠基性工作。以后经E.M.施坦、G.韦斯和C.费弗曼等人，把奇异积分同哈代-李特尔伍德极大函数、面积积分、多元调和函数边界性质、李特尔伍德-佩利理论联系起来，组成了近代调和分析的主要工具。同时由J.J.科恩、L.尼伦伯格和L.赫尔曼德尔等人在奇异积分理论和方法的基础上，发展出伪微分算子、傅里叶积分算子等理论，形成偏微分方程近代理论的一个重要方面。

特例

考虑n维欧氏空间Rn(n>2)上的泊松方程Δu=ƒ，试用牛顿位势

验证这个函数满足方程，形式地在积分号下微分两次，得到

　　　(1)

式中一般说来，积分(1)是发散的。因为它的核按绝对值的大小来说，在原点x=0附近是不可积的，也即按勒贝格积分的意义说，积分(1)一般不存在。但由于Ωj在Rn的单位球面S上的平均值等于对“好的”函数来说，只要把积分(2)理解为

　　　(2)

就可以证明这极限是存在的，并且可进一步证明，如果ƒ∈Lp(p>1)，那么积分(1)所定义的也属于Lp。按正常意义是发散的积分(1)，用(2)来定义，就可能是收敛的。因此人们称 (1)右方的积分为奇异积分或奇异积分算子。

推广到一般情形

一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子是如下定义的一种积分变换：

　　　(3)

式中Ω(y) 是零次齐次函数， 即对任意的 λ>0，满足Ω(λy)=Ω(y)，并且在Rn的单位球面S上的平均值等于0，即同时还具有一定的光滑性。(1) 中的积分是奇异积分算子的一个特例。考尔德伦和赞格蒙于1952年的奠基性工作主要就是证明了:如果ƒ∈Lp(p>1)，则由(3)所定义的Tƒ∈Lp，并且

式中C与ƒ无关。

从傅里叶变换的观点来看，如果ƒ∈L2，则Tƒ和ƒ的傅里叶变换可以用等式 联系起来，其中m(x)是Rn上的一个零次齐次函数，更准确些，m(x)和(3)中的Ω(x)有下面的关系：

　　　(4)

式中表示x与y的内积。

里斯变换

分别取 式中C是一个只依赖于n的常数，这样的Ωj满足上面关于Ω所要求的一切条件，这时相应的n个奇异积分算子为

Rjƒ称为ƒ的第j个里斯变换(j=1，2，…，n)。因此，在n维空间Rn中，ƒ共有n个里斯变换。从傅里叶变换的观点看来，只要计算出(4)中的就可以把里斯变换写成

　　　(5)

n=1时，这时里斯变换就是希尔伯特变换

可见里斯变换是希尔伯特变换到高维空间的直接推广，而一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子正是希尔伯特变换到高维空间的更一般的推广。

同偏微分方程的联系

奇异积分算子理论在偏微分方程的许多问题中起着重要的作用。为了说明这点，考虑一个纯粹的m阶的偏微分算子

　　　(6)

注意对拉普拉斯算子墹，不难看出有

结合偏微商和傅里叶变换的关系以及等式(5)，就知道里斯变换实际上就是 这样(6)中的L就可以写成

。

这式子表明，L可以分解为算子T与(-Δ)的乘积：L=T(-Δ)，式中T实际上是一个变系数的奇异积分算子，具有下面的形式

式中Ω(x，ω)对ω来说，类似于(3)中的Ω，即对每个x有

而C(x)是一个无限次可微的函数。换句话说，假如不看因子(-Δ)，偏微分算子仅仅是一种特殊类型的奇异积分算子。

考尔德伦-赞格蒙分解

奇异积分算子(2)的Lp有界性的证明，用的是马钦凯维奇算子内插定理（见算子内插）。T的(2，2)型是容易从普朗歇尔等式得到的。困难在于证明T是弱(1，1)型的。为证T的弱(1，1)型，1952年考尔德伦和赞格蒙在他们的奠基性论文中，把函数ƒ∈L分解为g+b)两部分，其中g有较好的性质，例如g∈L2，故称g为“好的”部分，而b)是“坏的”部分，但具有某些特殊性质，如在某些方块上的积分为0。这就是通常所说的考尔德伦-赞格蒙分解。在此基础上，以后发展出一整套的实变函数论方法。奇异积分算子理论和这一整套的实变函数论方法，不仅在近代调和分析和偏微分方程的理论中，而且在多元复变函数论、概率论和位势理论中，起着重要的作用。

参考书目
  1. A.P.Calderón and A.Zygmund， On the Existenceof Certain Singular Integrals，Acta MatheMatica，Vol. 88， pp.85～139， 1952.
  2. E.M.Stein，Singular Integrals and Different-iability Properties of Functions，Princeton Univ.Press，Princeton，1970.
  3. E.M.Stein and G. Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press，Princeton，1971.
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