李代数

[拼音]：Lidaishu

[外文]：Lie algebra

一类重要的非结合代数。最初是由19世纪挪威数学家M.S.李创立李群时引进的一个数学概念，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于W.基灵、É.(-J.)嘉当、（C.H.）H.外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。无论就其理论的完整性还是就其应用的广泛性来说，李代数都已成为一个非常重要的数学分支。它的理论和方法已经渗透到数学和理论物理的许多领域。

定义

如果令F是一个域，集合g称为F上的一个李代数是指：

（1）g是F上一个向量空间。

（2）g带有一个二元运算，称为换位运算，即对于任意X，Y∈g，有g中惟一确定的元素(记为[X，Y])与之对应。

（3）满足下列三条件即对于任意α、b∈F，X，Y，Z∈g，有[αX+bY，Z]=α[X，Z]+b[Y，Z]，[X，αY+bZ]=α[X，Y]+ b[X，Z]；[X，X]=0；[[X，Y]，Z]+[[Y，Z]，X]+[[Z，X]，Y]=0（雅可比恒等式）。

李代数g作为F上向量空间，它的维数称为李代数g的维数。

由③中的前两个条件可推出，对于任意X，Y∈g，有[X，Y]=-[Y，X]；反之，当F的特征不为2时可由此式推出③中的第二个条件。

设g是域F上一个向量空间，在g中定义换位运算：对于X，Y∈g，令[X，Y]=0，则g作成一个李代数，称为交换（或阿贝尔）李代数。

在R³={(x₁，x₂，x₃)｜x_i∈R，R 是实数域，i=1， 2，3}中， 设 则R³作成R上一个李代数。

令V 是域F上一个向量空间。可知V的一切线性变换作成F上一个向量空间，设ƒ、g是V的线性变换，令ƒg表示ƒ与g的合成，并定义[ƒ，g]=ƒg-gƒ，直接验证可知，V的全体线性变换所组成的向量空间，对于这样定义的换位运算，作成F上一个李代数。这个李代数称为全线性李代数，记作g(V)。

类似地，域F上全体n×n矩阵所组成的向量空间，对于换位运算[A，B]=AB-BA（A、B是n×n矩阵），作成F上一个李代数，并称之为F上全阵李代数，记作g(n，F)。

更一般地，设U是域F上一个结合代数。对于α、b∈U定义[α，b]=αb-bα，则U作成F上一个李代数。

子代数、理想、商代数、同态

令g是域F上一个李代数，α、b是g的子空间。记[α，b]=｛Σ[A，B](有限和)│A∈α，B∈b ｝，则[α， b]是g的一个子空间。设α是g的一个子空间。如果[α， α]嶅α，那么就称α是g的一个子代数;如果[α， g]嶅α，那么α就称为g的一个理想。由于[α，g]=[g，α]，因此李代数的理想都是双边的。如果α是g的一个理想，在商空间g/α里，定义[X+α，Y+α]=[X，Y]+α，那么g/α作成F上一个李代数，称为g模α的商代数。

设g₁、g₂是域F上李代数。ƒ:g₁→g₂是一个线性映射。如果对于X、Y∈g，ƒ([X，Y])=[ƒ(X)， ƒ(Y)]，那么ƒ就称为一个同态映射。如果ƒ还是一个双射，那么就称ƒ是一个同构映射，这时g₁与g₂就称为同构，记作g₁≌g₂。设ƒ:g₁→g₂是一个同态映射，则 Im ƒ=ƒ(g₁)是g₂的一个子代数，而Kerƒ＝ƒ^-1(0)是g₁的一个理想，并且ƒ导出一个同构g₁/Ker ƒ≌Im ƒ。

设V是域F上一个n维向量空间。通过取定V的一个基，可以在全线性李代数g（V）与全阵李代数 g(n， F)之间建立同构，因而常把这两个李代数看成是一样的。g(n，F)（或g(V)）的子代数称为线性李代数。一些重要的线性李代数如下：　 t(n，F)={(α_ij)｜(α_ij)∈g(n，F)，α_ij=0，若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩阵所组成的集合。　 n(n，F)={(α_ij)｜(α_ij)∈t(n，F)，α_ij=0，1≤i≤n}，即主对角线上元素都是0的 n×n上三角形矩阵所组成的集合。

容易验证，t(n，F)和n(n，F)都是g(n，F)的子代数。

域F上一切迹是0(即主对角线上元素的和等于0)的n×n 矩阵，作成g(n，F)的一个理想，记作s(n，F)。当F是复数域，而n=l+1(l≥1)时，这个李代数通常记作A_l，称为特殊线性李代数。

取定域F上一个n×n对称或反对称矩阵M。 令g={X∈g(n，F)| ^tXM+MX =0}(^tX表示X的转置)， 则g是g(n，F)的子代数。现设F是复数域，M是一个非退化对称矩阵，于是M与以下两个矩阵之一合同：

当n=2l+1，

；

当n=2l，

。

在前一情形，与之相当的g记作B_l；在后一情形，记作D_l。这两类李代数都称为正交代数。如果M是一个非退化反对称矩阵，那么n一定是偶数：n=2l，因此M与

合同。与此相当的李代数g称为辛代数，记作C_l。

可解李代数、幂零李代数

设g是域F上一个李代数，α、b是g的理想，那么[α，b]仍是g的一个理想，特别，g⁽¹⁾=[g，g]， g⁽²⁾=[g⁽¹⁾，g⁽¹⁾]，…，gⁿ⁺¹=[g⁽ⁿ⁾， g⁽ⁿ⁾]，…都是g的理想。于是有g叾g⁽¹⁾叾g⁽²⁾叾…，称为g的导出链。g⁽¹⁾称为g的导出代数。如果存在一个正整数n，使得g⁽ⁿ⁾={0}，那么就说g是可解的。

再定义g¹=g，g²=[g，g¹]，…，gⁿ⁺¹=[g，gⁿ]，…，又可得到g的一个理想序列g¹叾g²叾…，称为g的降中心链。如果存在一个正整数n，使得gⁿ={0}，那么就说g是幂零的。因为g⁽ⁱ⁾嶅gⁱ，所以幂零李代数一定是可解的。

例如，线性李代数t(n，F)是可解的，而n(n，F)是幂零的，事实上，t(n，F)⁽ⁿ⁾={0}，n(n，F)ⁿ={0}。这两个例子具有普遍的意义，因为有以下两个定理。

恩格尔定理　令V是域F上一个n（大于零）维向量空间，g是g(V)的一个子代数。如果g的元素都是V的幂零线性变换， 那么存在V的一个非零向量v，使得对于每一个X∈g都有X·v=0，因此，适当选取V的基，并且将g(V)与g(n，F)看成一样的，就有g嶅n(n，F)。

李定理　令F是一个特征为0的代数闭域，V是F上一个n（大于零）维向量空间，g是g(V)的一个可解子代数，则存在V 的一个非零向量v，使得对于每一X ∈g都有Xv＝φ(X)v，φ(X)∈F。因此适当选取V的基可以使得g嶅t(n，F)。

单李代数、半单李代数

域F上一个李代数g是所谓单的，即指除了g本身和{0}以外，g不含其他理想。F上一个有限维李代数g是所谓半单的，即指g不含非零可解理想。每一个有限维李代数g都含有惟一的最大可解理想r，就是这样一个理想， 它包含g的一切可解理想，称为g的根基。g是半单的当且仅当它的根基 r＝{0}。除一维李代数外，有限维单李代数都是半单的。特征为0的域上每一个半单李代数都是一些单李代数的直和。

李代数的表示

令g是域F上一个李代数，V 是F上一个向量空间。李代数的一个同态ρ: g→g(V)，称为g在V上的一个线性表示，简称表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时，取定V的一个基，将g(V)与g(n，F)看成一样，于是就得到一个李代数同态ρ: g→g(n，F)，仍记作ρ，称为g的一个矩阵表示。如果g的一个表示ρ是单射，那么就称(ρ，V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实表示。

设(ρ，V)是李代数g的一个表示。V的一个子空间W称为ρ(g)不变的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不变。李代数g的一个表示(ρ，V)称为不可约的，是指除{0}和V本身外，V没有其他ρ(g)不变子空间。所谓(ρ，V)是完全可约的，意即V是一些ρ(g)不变的子空间的直和，并且ρ在每一个这样的子空间上的限制都是不可约的。有外尔定理：特征为 0的域上半单李代数的每一（有限维）表示都是完全可约的。

最重要的一种表示就是所谓伴随表示。设X是李代数g的一个元素。对于每一Y∈g，定义adX(Y)=[X，Y]，则adX是g的一个线性变换，并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g(g)的一个同态映射(利用雅可比恒等式很容易验证)。因此，(ad，g)是g的一个表示。表示空间就是g本身，称为g的伴随表示。

设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g， 定义k(X，Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别，当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时， k称为g的基灵型。基灵型在研究李代数的结构中起重要的作用。例如有嘉当判定准则：特征为0的域上一个(有限维)李代数是半单的，必要而且只要g的基灵型非退化。

复半单李代数的根系和分类

复数域(或一般地，特征为0的代数闭域)上的半单李代数的结构和分类，早在19世纪末就已经得到。

令g是域F上一个李代数。g的一个子代数称为一个嘉当子代数，是指是幂零子代数，且与它在g内的正规化子相重合。

设g是复数域上一个半单李代数，这时g的一个子代数是嘉当子代数，必要而且只要是具有以下两个性质的极大子代数：

（1）是交换的；

（2）对于的每一个元素h，adh是g上一个可对角化的线性变换。g一定有嘉当子代数，并且g的任意两个嘉当子代数都可以通过g的一个内自同构将其中一个变成另一个。

取定g的一个嘉当子代数。设dim=l，并称为g的秩。令^*是的对偶空间(即上一切线性函数所成的空间)。设 α∈^*，令，对一切h ∈}，则g_α是g的子空间，并且g₀={X∈g｜[h，X]=0，对一切h∈}=。如果α≠0且g_α≠{0}，那么就称α是g关于的一个根，而_α称为属于根α的根子空间。令墹表示g关于的根全体，称为g关于的根系，那么g可以分解成子空间的直和:，其中每一个根子空间 g_α都是一维的。这种分解（在同构意义下）不依赖于的选取。

g的基灵型 k 在 上的限制是非退化的，因而对于^*中每一元素λ，存在惟一的元素h_λ∈，使得λ(h)=k(h_λ， h)对于一切h∈成立。因而就有一个同构^*→，使得 λh_λ。于是k在^*上诱导出一个非退化对称双线性型，对一切λ、μ∈^*。

令墹是g关于一个嘉当子代数的根系。墹的一个子集称为墹的一个基础系，是指墹的每一元素 α可以惟一地表成的整系数线性组合：是整数，并且要么都≥0，要么都≤0。墹的一个基础系所含的根的个数等于g的秩l，因而作成的一个基。g是单的，当且仅当基础系Ⅱ不能分解成两个不相交的非空子集Ⅱ₁与Ⅱ₂的并集，并且对于任意α∈Ⅱ₁和β∈Ⅱ₂，都有(α，β)=0。

复数域上单李代数（在同构的意义下）由它们根的基础系完全刻画。有以下的结果:在同构的意义下，复数域上单李代数只有A_l(l≥1)B_l（l≥1）、C_l（l≥1）、D_l(l≥3)这四类和五个例外李代数，分别记作G₂、F₄、E₆、E₇、E₈、它们的维数分别是14、52、78、133和248。除了A₁≌B₁≌C₁，B₂≌C₂，A₃≌D₃外，这些李代数互不同构。

复半单李代数的实型和谢瓦莱基

设g是复数域C上一个半单李代数。实数域R上一个李代数g₀称为g的一个实型，是指，这时g称为g₀的复化。设g₀是g的一个实型，于是g₀总可以看成g的一个实子代数，并且。g的一个实型g_u称为紧的，是指g的基灵型在g_u上的限制是负定的。一个复半单李代数g（在同构意义下）只有惟一的紧实型，然而可以有若干互不同构的非紧实型。一个实李代数g₀是半单（或单）的，当且仅当它的复化是半单（或单）的。实单李代数的分类问题与不可约对称黎曼空间的分类问题是密切相关的。这个问题也已完全解决。

在一个复半单李代数 g里， 总存在着这样一个基{h₁，h₂，…，h_l；E_α，α∈墹}，这里h₁，h₂，…，h_l是一个嘉当子代数的基，而墹是g关于的根系，E_α∈g_α，α∈墹，具有以下性质：

（1）α(h_i)，i=1，2，…，l，α∈墹都是整数；

（2）；

（3）如果α、β及α+β都是根，那么 ， 是整数且。这样的一个基称为g的一个谢瓦莱基。取定g的一个谢瓦莱基，于是是整数环Z上一个李代数。令，于是g_R是g的一个实型而 是g的一个嘉当子代数，并且adh(h∈)在 g上的特征值都是实数。这样一个实型称为g的正规实型。一个复半单李代数g的正规实型是彼此共轭的(即在g的内自同构作用下是传递的)。

特征为p>0的域上的李代数和卡茨－穆迪代数

令g是一个复单李代数。取定g的一个谢瓦莱基，可以作出g_Z。设K是任意域，于是就是K上一个李代数。当K是一个特征为p>0的代数闭域时，通过这种途径得到的g_K记作。那么与复单李代数相对应，就得到K 上李代数 。这些李代数，除了┯_l在l+1呏0(modp)的情形外，也都是单的，然而和特征为0的情形不同，这些李代数远远没有穷尽特征为p>0的代数闭域上的单李代数。K上另一类重要的李代数是所谓嘉当型李代数。这种李代数与É.嘉当的伪群中所产生的无限维单李代数极其类似。这种李代数分成四类，通常分别记为 W_n、S_n、h_n和K_n，其中W_n是单的，而其他三类也很接近于单的。

1968年，V.卡茨和R.穆迪彼此独立地提出了一类新的李代数，这种李代数可以看成复半单李代数在无限维的很自然的类比，称之为卡茨－穆迪代数。

特征为p>0的域上的李代数和卡茨-穆迪代数的研究正方兴未艾，与其他学科的联系也很广泛，许多问题有待解决。

参考书目

1. 万哲先编著：《李代数》，科学出版社，北京，1964。
2. 严志达著：《半单纯李群李代数表示论》，上海科学技术出版社，上海，1963。
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