约束

[拼音]：yueshu

[外文]：constraint

对非自由质点系的运动预加的几何学或运动学的限制。在力学中，同约束有关的知识有三个内容，即约束力、约束方程和理想约束。

约束力

约束作用于非自由质点系的力称为约束力。约束力的方向总是与约束所阻碍的运动方向相反。常见的约束力类型见表1。 约束力的大小是未知的，取决于非自由质点系的运动状态和作用于非自由质点系的其他力，应通过力学定律（如运动微分方程）确定。例如，火车受到钢轨的约束，不论运动的起始条件和火车所受的推力如何，行驶中的火车（在几何上）总是沿着预定的曲线轨道运动。钢轨迫使火车按预定曲线运动的力就是约束力，其大小取决于火车所受的其他力和火车的速度、加速度。又如，长为l的细刚杆（重量可忽略）的一端连以小球，另一端O以球铰链悬挂而组成球面摆。小球受刚杆约束，而在重力和刚杆所加约束力作用下，以O点为中心，作半径为l的球面运动。刚杆加于小球的约束力的大小，取决于小球所受的重力和速度（速度决定向心加速度的大小）。

约束方程

约束条件的数学表示式。在分析力学中，利用约束方程就可消去与其数目相等的变数，有利于解题。约束可分“单面约束”和“双面约束”，前者的约束条件用不等式表示，后者用方程表示。例如，被约束于物面上的质点和用不能伸长的细线悬挂的质点，它们所受的都是单面约束。前者可自约束面的一侧脱离，向另一侧的运动则受到限制;后者用长为l的细线悬挂于定点作单摆，质点与悬点间的距离不能大于l，但可小于l。所以约束条件为：x²+y²+z²-l²≤0。

双面约束的质点不能自约束面的任何一侧脱离约束。例如，以长为l的细刚性杆代替上例中的细线，就属于“双面约束”。约束条件可写作：x²+y²+z²-l²=0。　　　　　　 (1)

处理单面约束的方法是，当质点在约束面上时，单面约束可当作双面约束用方程式表示；当它已脱离时，可当做自由质点。

约束方程可按所含变数定名为几何约束、含时几何约束和运动约束。

几何约束

约束方程只包含质点系中质点的坐标，如式(1)。设质点系含n个质点，将它们的3n个坐标用统一符号表示为x₁，x₂，…，x_3n，则几何约束可写作：f(x₁，x₂，…，x_3n)=0。　　　　　 (2)

含时几何约束

约束方程除包含坐标以外，尚包含时间t，可写作：f(x₁，x₂，…，x_3n;t)=0。　　　　　 (3)

式(2)可看成式(3)的特例，两者都属于有限约束。

运动约束

约束方程包含质点的速度夶_i。它的通式可写作：

f(x₁，x₂，…，x_3n;夶₁，夶₂，…， 夶_3n;t)=0。　(4)

一般分析力学著作中只限于讨论约束方程是速度的线性式，其通式可写作：

　　　　　　(5)

式中A_i、A₀可为x₁，…，x_3n和t的函数。如果式(4)可积分，就能变成形如式(3)的方程。式(5)又可写作：

　　　　　(6)

所以运动约束又称微分约束。

约束方程的类型取决于力学系统的类型(表2)。

理想约束

又称不作功约束，指质点系所有约束力对其作用点的虚位移（δr）所作的功的和为零的约束。如车轮、球体、柱体等物体在另一固定粗糙面上作纯滚动，因接触面没有位移，所以通过接触点的约束力不作功。这类约束就属于理想约束。假定作用于质点系中的质点m_i上的约束力为N_i，作用点的虚位移是δr_i，则理想约束可用数学式表示为：

常见的理想约束有：

（1）质点在固定光滑曲面或光滑曲线上的约束；

（2）连接两个物体的光滑铰链的约束；

（3）用细刚杆连接两个质点，使两者距离保持不变的约束。对于定常约束，因虚位移和可能位移(dr)的约束方程形式相同，所以对可能位移不作功的约束力对虚位移也不作功，例如上述中①类的约束。对于非定常约束则不然，例如一个质点被约束在运动着的光滑曲面上，其约束方程为：f(x，y，z，t)＝0。

虚位移式为：

；　　　　　 (7)

可能位移式为：

。　　　 (8)

因光滑曲面对质点的约束力N沿曲面的法线，所以它的三个分量N_x、N_y、N_z满足：

将上式代入(7)和(8)分别得：

N_xδx+N_yδy+N_zδz=0

和

。

上两式左边分别表示约束力经虚位移δr和可能位移dr所作的功。显然，约束力对虚位移所作的功为零；而对可能位移所作的功不为零。

约束力与虚位移或可能位移之间的矢量关系如图所示。从图中可以看出δr⊥N，故N·δr＝0;而N·dr＝Ndrcosθ厵0。

在分析力学中，处理约束系统的力学问题，全靠理想约束这个前提条件使问题简化。

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