玻耳兹曼方程

[拼音]：boˊerziman fangcheng

[外文]：Boltzmannˊs equation

气体分子运动论的基本方程，因L. E. 玻耳兹曼于1872年首先提出而得名。它是一个非线性积分微分方程，用于描述气体分子速度分布函数的变化。它对研究稀薄气体动力学有重要意义。

根据质点分子或光滑球分子速度分布函数f（x，v，t）的定义，在时刻t，x 邻近的物理空间体积元（记为dx呏dx1dx2dx3）内，速度在靠近v的速度空间元(记为dv呏dv1dv2dv3)内的分子数目是fdxdv。对于单一组元且相互作用势为球对称的气体分子，如果作用在分子上的外力为F，则速度分布函数f 满足下述玻耳兹曼方程：

公式 符号

式中m为分子质量;g为碰撞前速度分别为v、v1的两个分子的相对速度值；B为假设第一个分子静止时，第二个分子运动轨迹的渐近线到第一个分子重心的垂直距离;ε为第二个分子运动轨迹平面同通过第一个分子重心并与相对速度平行的某一固定平面之间的夹角。f1呏f（v1），f′呏f(v′)，f姈呏(v姈)，v′、v姈是碰撞前速度为v、v1的两个分子碰撞后的速度。式(1)�杏叶耸嵌运锌赡艿�B、ε、v1之值求积分，称为碰撞积分，代表由于分子相互碰撞引起的f 的变化。上述方程只适用于质点分子或光滑球对称分子。

对于一般刚性分子，速度分布函数有六个位置变量和六个速度变量。因为，若分子为非球对称的刚体，除用x决定平动外，还需有三个决定方位的角变量。如果分子表面不光滑，则除了速度v外，尚需有表征分子运动状态的三个角速度分量。

直接求解玻耳兹曼方程十分困难，平衡状态的麦克斯韦速度分布实际上是已知的仅有的精确解：

f0=(ρ/m)(h/π)3/2exp(-hv2)，　　　　(2)式中h=m/2kT;k为玻耳兹曼常数;ρ、v和T为平衡态下的密度、速度和温度。为了简化，通常提出所谓模型方程，用以近似地代替玻耳兹曼方程。最简单而常用的方程是所谓B-G-K-W方程，它用v(f0－f)（称为弛豫项）代替玻耳兹曼方程右端的碰撞积分，即

公式 符号，　　　　(3)

式中v为碰撞频率；f0为由式(2)给出的局部麦克斯韦分布。但式(2)中可调参量 ρ、v、T应与由解f给出的局部密度、速度、温度相同。 B-G-K-W方程满足质量、动量、能量在碰撞前后守恒和其解渐近趋于麦克斯韦分布的条件。它比较简单，且能给出与玻耳兹曼方程近似的结果，因而常被用来代替玻耳兹曼方程。

参考书目
  1. S. Chapman and T. G. Cowing， The Mathematical Theory of Non-uniform　Gases， 3rd ed.， Cambridge Univ.Press，London，1970.
  2. C. Cercignani， Mathematicl　Methods in Kinetic Theory，Plenum Press，New York，1969.
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