[拼音]：Suomofei tuoyuan guidao lilun
[外文]：Sommerfeld's elliptical orbit theory
A.索末菲在玻尔氢原子理论的圆轨道基础上发展了椭圆轨道理论，认为电子在核的库仑场中运动，其轨道一般应为椭圆。索末菲假定在极坐标系中电子的允许轨道必须满足两个量子条件
式中nφ和nr都是正整数，分别称为角量子数和径量子数。核库仑吸引力是一种有心力，故电子的角动量pφ在周期运动中为恒量
。
利用这一关系，再用经典力学中粒子作椭圆轨道运动时总能量关系，算得氢原子中电子在椭圆轨道上的总能量为
式中me是电子的质量，Z是原子核电荷数，e是电子的电荷量，ε0是真空介电常数， h是普朗克常数。如果令n＝nr+nφ，则电子在椭圆轨道上的能量与相应的玻尔轨道上的能量相同。整数 n称为主量子数。并且算得椭圆轨道的半长轴a为
。
半长轴a和半短轴b的关系为
。
对每一个半长轴，都有n个不同半短轴的轨道，按开普勒定律，作椭圆轨道运动粒子的能量只和长轴有关，故这些轨道上的电子具有相同的能量
En只与n有关，与nφ无关。
考虑到电子质量的相对论效应，在偏心率不同的轨道上的影响是不同的，索末菲详细推导了相对论效应中电子能量，得到
式中μ为电子与核的静折合质量，R为该原子的里德伯常数，с为真空中光速，
称为精细结构常数。可见，相对论效应使得主量子数n相同，但角量子数nφ不同的椭圆轨道具有不同的能量，即同一个n值所标示的能级将分裂为n个相近的能级。据此也能解释光谱的精细结构。
1926年L.H.托马斯首先根据G.E.乌伦贝克电子自旋的假设，考虑到自旋轨道相互作用和相对论坐标变换效应，成功地解释了氢原子光谱精细结构谱线分裂。1927年P.A.M.狄喇克的相对论量子力学理论直接得到了相似的结果
式中j取值
和
，称总角动量量子数。狄喇克理论不仅能较好地定量解释氢原子光谱的精细结构，而且可直接导出电子的自旋磁矩。