马尔可夫参数估计

[拼音]：Ma’erkefu canshu guji

[外文]：estimation of Markov parameter

通过对传递函数阵（见传递函数）的辨识求出马尔可夫参数，以建立系统最小实现状态方程的非参数模型辨识方法。对于离散的单输入单输出系统，脉冲响应权序列{hi，i＝0，1，…}的Z变换就是脉冲传递函数H(z)，即 。对于满足完全可观测和完全可控条件的多输入多输出系统，存在着形式上与{hi}序列相似的非参数模型{Ji，i＝0，1,…}。如果多输入多输出的传递函数阵为G(z)，它可以表示为

G(z)＝D＋J0z-1＋J1z-2＋…

这个矩阵序列{Ji，i＝0，1，…}称为多输入多输出系统的马尔可夫参数。多输入多输出系统辨识的困难在于无法得到惟一解，但可考虑其最小实现的辨识。设线性定常系统为

x(k＋1)＝Ax(k)＋Bu(k)

y(k)＝Cx(k)＋Du(k)

式中x(k)是n维状态向量，y(k)是m维观测向量,u(k)为r维输入。系统的等价类上的传递函数为

G(z)＝C(zI-A)-1B＋D

由定义JiCAiB 所给出的马尔可夫参数与G(z)之间的关系即符合上述Z变换的关系。由马尔可夫参数{Ji}构成的汉克尔矩阵Hn为

其中On为完全可观测矩阵，Cn为完全可控矩阵。由系统的完全可控与完全可观测的假定可知：rank (On) ＝n,rank(Cn)＝n,亦即rank(Hn)＝n。因此,系统为最小实现的充分必要条件是：由马尔可夫参数构成的汉克尔矩阵的秩为 n。为了获得马尔可夫参数的估计，需要先辨识传递函数阵G(z)，然后把G(z)展成z-1的矩阵多项式,其相应的系数矩阵就是马尔可夫参数的估计。辨识马尔可夫参数的目的在于建立最小实现的状态方程，著名的方法之一是何-卡尔曼方法,可表述为:给定{Ji，i＝0,1,2，…},存在有穷维最小实现(A，B，C),它以Ji为其马尔可夫参数的充分必要条件是存在一个整数q及常数α1，α2，…，αq,使对任何j≥0有。

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