[拼音]：santi wenti
[外文]：three-body problem
三个天体(质点)在万有引力作用下的运动问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。三体问题是一个古老而至今尚未完全解决的天体力学难题，到现在已有近三百年的历史，很多著名的数学家和力学家都作过研究，有关文献已超过千篇。由于没有得到三体问题的严格解，在研究具体天体运动时，都是根据实际情况求出各种近似解。在求解过程中提出研究三体问题的各种方法，从而推动三体问题理论的发展。
降阶和求积设三个天体的质量为m1、m2、m3，它们的位置共有九个坐标，运动方程为九个二阶微分方程，共十八阶。很早以前，就得到了三体问题的十个首次积分，即三个动量积分、三个质心运动积分、三个动量矩积分（又称三个面积积分）和一个能量积分。由于三体问题中三个质点组成一个保守的力学系统，不受任何外力的作用，所以这些积分就是力学中动量守恒定理、质量中心运动定理、动量矩守恒定理和能量（机械能）守恒定律的体现。这十个首次积分都是变量（坐标及速度）和时间的代数函数，故称代数积分，又称经典积分。
利用十个经典积分以及消去自变量和交点经度的方法，可以把三体问题的十八阶微分方程组降低到六阶，这个工作是拉格朗日在1772年完成的。1843年，雅可比证明，对N体问题，如果除两个积分外都已找出，则这两个积分也就随之可以找出。二体问题为十二阶的方程，已知十个积分，还差两个，正好符合雅可比的条件，可以完全解出；而对三体问题，则还差八个积分，寻找新积分便成为解决三体问题的重要途径（见三体问题的积分）。
级数解法运动方程暂时还无法积分，所以在研究具体问题时，往往根据太阳系天体运动的特点（太阳的质量比行星大得多），以二体问题为基础，讨论第三体对二体问题轨道的影响，从而建立带有小参数形式的三体问题运动方程。在讨论太阳和两个行星相互吸引的三体问题时，行星的质量m和m′就是小参数。以行星轨道要素（记为pi、qi）为变量的运动方程的解的形式为：
，
，
庞加莱证明：若在时间t=0，两个行星的轨道曲线不相交，则对于一定的m、m′值，存在一正值t0;当0<t<t0时，p、q按m、m ′的乘幂展开式是收敛的。这个t0值将随m、m ′的大小而定，m、m ′越小，则 t0越大。级数的系数为近点角的三角级数。
除了用三角级数来积分三体问题的方程外，直接用幂级数来求积分是另一个重要途径。要想得到三体问题的幂级数解，并且对时间t的任何值都收敛，则必然碰到一个困难：由于运动方程的右端函数的分母中含有三个天体之间的距离，当二体或三体碰撞时，就不再是正则函数。1912年，松德曼成功地克服了这一困难，他找到了一个正规化变量来代替时间t，而在三个面积积分常数不全为零的条件下，三个天体的坐标、相互距离以及时间都可展开为一个辅助变量的幂级数，它们对时间t的所有实数值都收敛。作为一个数学问题，在只考虑二体碰撞的情况下，可以得到三体问题的幂级数解。但是它收敛得非常慢，以致没有实用价值。贝洛里兹基将松德曼的结果应用于已知的拉格朗日等边三角形解（见平面圆型限制性三体问题），为了使t=1的计算值达到0.1的精度，级数至少要取1080000项！松德曼的结果虽然只是定性结论，但在理论上证明了三体问题幂级数解的存在性，还是有很大价值的。
研究特殊的三体问题和寻找特解既然很难得到一般三体问题的解，不少人根据太阳系的实际情况，研究一种特殊的三体问题，并寻找它的特解。例如，讨论小行星或彗星在太阳和某个大行星吸引下的运动时，可以把小行星或彗星的质量看成无限小，从力学观点来说，就是忽略了小天体对太阳和大行星的吸引，这就构成了一个特殊的三体问题，它只讨论小天体在太阳和某个大行星吸引下的运动规律。这种三体问题称为限制性三体问题。
在研究限制性三体问题时，采用特殊的旋转坐标系，可以得到著名的雅可比积分、希尔曲面(即零速度面)和拉格朗日特解。这些结果对于研究小行星的运动特征、双星的运动、俘获理论以及月球火箭运动理论中都有重要的意义。由于限制性三体问题比一般三体问题简单，往往可以得到某些结果，然后再把这些结果推广到一般情况。例如，拉格朗日特解就是首先从圆型限制性三体问题得到的，后来再推广到一般三体问题；庞加莱关于三体问题不存在新的单值解析积分的证明，也是首先从平面圆型限制性三体问题进行探讨的。所以，研究特殊的三体问题和寻找它的特解，可为解决一般三体问题提供一些线索和方法。
寻找周期轨道庞加莱提出的周期解理论是研究三体问题的一条重要途径。他提出三类周期解：当两行星相互间轨道的倾角为零、偏心率都很小时，称为第一类周期解；当两行星相互间的轨道倾角为零、而偏心率为有限值时，称为第二类周期解；当两行星相互间的轨道倾角不为零，偏心率为有限值时，称为第三类周期解。在第二类和第三类中还设两行星的平均运动角速度之比为简单分数，即可以通约的。对于第一类、第二类周期解，只要方程右端函数满足一些条件，周期解是存在的；第三类周期解尚未经过很好的研究。
定性方法它不借助于具体的求解方法，而是采用定性理论来研究长时间内三体问题的运动特性、轨道在运动方程奇点附近的性质以及三体问题的运动全局性质（见天体力学定性理论）。
数值方法用天体力学数值方法对运动微分方程直接积分是一条新的途径。早在十八世纪，就用数值方法研究过彗星的运动。到十九世纪，由于研究小行星运动，数值方法得到一定发展，只是由于计算工具落后，而未引起普遍重视。二十世纪五十年代以来，现代高速电子计算机的发展和广泛应用，为天体力学数值方法的发展提供了条件，一般具体的三体问题都用数值方法解决。
综上所述，研究三体问题的方法可分为三类，即分析方法、定性方法和数值方法。分析方法是把天体的坐标或轨道要素表示为时间的函数，而且展开成级数形式的近似分析表达式，这样可以比较方便地讨论天体的运动规律，但是由于级数收敛性的限制，往往只能适用于较短的时间间隔；定性方法是从运动方程出发来研究天体运动的全局特性，但它不便于实际应用；数值方法则是直接算出天体在某些时刻的具体位置，这对实际工作来说是有效的，但难以探求天体运动变化的规律。鉴于三类方法各有长处和不足之处，实际上往往同时采用几种方法来研究三体问题。
- 参考书目
- D.Brouwer and G.M.Clemence， Methods of Celestial Mechanics，Academic Press，New York，1961.