典型群

[拼音]：dianxingqun

[外文]：Classical group

线性群、正交群、辛群和酉群的总称。这些群自19世纪以来就是讨论研究较多的。1946年，H.外尔的《典型群》一书出版后，于是人们通常把这些群称为典型群。

线性群

线性变换组成的群。线性变换与矩阵是一一对应的，也可看作是矩阵组成的群。设K是体，n>1，K上n×n可逆矩阵的全体对矩阵乘法组成一群，称为K上n次一般线性群，记作 GLn(K)。将 GLn(K)的换位子群记作SLn(K)，称之为K上n次特殊线性群。当K是域时，除n=2，K=F2 (F2是2个元素的域)的情形外，SLn(K)就是GLn(K)中行列式等于1的矩阵组成的群，而。将 GLn(K)和 SLn(K)模其各自的中心的商群，分别记作PGLn(K)和PSLn(K)，并分别称为K上n次射影一般线性群和K上n次射影特殊线性群。

正交群

设F是特征不为2的域，S是F上n×n非奇异对称矩阵。 F上一切 n×n矩阵T 适合条件T┡ST=S(T┡是T的转置)者对矩阵的乘法组成一群，称为 F上（由S 定义的）n 次正交群，记作On(F，S)。On(F，S)中行列式等于1的矩阵组成的子群记作(F，S)，而On(F，S)的换位子群记作Ωn(F，S)。On(F，S)、(F，S)和Ωn(F，S)模其各自中心的商群，分别记作 POn(F，S)，P(F，S)和PΩn(F，S)。

当F是特征为2的域时，如果S是一n×n正则矩阵，即S 定义的二次型 X┡SX （这里 是X的转置）是非退化的，用Kn表示 F上一切n×n交错矩阵的全体组成的模，那么F 上一切 n×n 矩阵T 适合条件T┡ST呏S(modKn)者对矩阵乘法组成一群，称为F上(由S定义的)n次正交群，记作On(F，S)，这时On(F，S)定义为On(F，S)中可表为偶数个On(F，S)中剩余数为1的元素之积的那些矩阵所组成的子群，Ωn(F，S)仍定义为On(F，S)的换位子群。所谓n×n矩阵T 的剩余数，是指T-I的秩，这里 I是n×n 单位矩阵。和特征不为2的情形一样， 可类似地定义POn(F，S)，POn(F，S)和PΩn(F，S)。

辛群

设J是域F上2n×2n非奇异交错矩阵，F上的一切2n×2n矩阵T 适合条件T┡JT=J者对矩阵乘法组成一群，称为F上（由J 定义的）2n次辛群，记作SP2n（F，J）。SP2n(F，J)模其中心的商群称为F上2n次射影辛群，记作PSP2n(F，S)。

酉群

设H 是体K上n×n非奇异埃尔米特矩阵，K 有一对合性反自同构τ，即 τ 是从K 到K 之上的一一映射，且满足条件 。K上一切 n×n矩阵T 适合者组成一群，称为K上（由H 定义的）n维酉群，记作Un(K，H)。

Un(K，H)中酉平延生成之群记作TUn(K，H)。所谓酉平延，是指对于 Un(K，H)中的元素T，T-I是秩为1的幂零阵。这里I是n×n单位矩阵。将Un(K，H)和 TUn(K，H)模其各自中心的商群，分别记作PUn(K，H)和PTUn(K，H)。

实数域和复数域上的典型群在19世纪就开始出现在几何学和物理学中。由于它们在几何学和物理学中的重要性，如O幦(F，I)是三维欧氏空间的旋转群，O4(F，S)是相对论中的洛伦茨群，这里S 是对角线上依序为1，1，1，-1的对角阵。19世纪末更发现它们在复单李群和实单李群分类中是几个大类型的单李群的突出地位，从而在数学中一直受到重视与研究。最初研究它们的方法是李群方法，后来则出现纯代数方法，主要研究它们的结构、自同构和同构、表示等问题。

典型群的结构，在19世纪末的李群研究中，已知道SLn(R)，On(R，I)等是实单李群，于是人们就想到考察有限域上的典型群是否能得到有限单群，而有限单群的获得与研究始终是有限群论的中心问题之一。到20世纪40年代，更将典型群的基域推广到任意体上，从而得到无限单群。以线性群为例，设K 是任意体，则除开PSL2(F2)、PSL2(F3)之外，PSLn(K) 都是单群。对其他类型的典型群也有相当的结果，但对于正交群和酉群，当S 和H 定号时，PΩn(F，S)和PTUn(K，H)何时是单群的问题还没有完全解决。所谓F上n×n非奇异对称矩阵S 定号，是指X′SX＝0蕴涵X＝0。

典型群的自同构和同构，除遗留少数情形外，各类型的典型群的自同构均被确定。仍以线性群为例，当n≥2时，GLn(K)的自同构必为以下两种形状之一:， 或，其中P∈GLn(K)，σ和τ分别为R 的自同构和反自同构，(Aτ)┡是(Aτ)的转置，这里ⅹ(A)为将GLn(K)映入它的中心的一个同态。在自同构的形状还没有被确定的群中，有SL2(K)（K为特征0的体）、Ωn(F，S)(S定号)等。关于典型群间的同构，特别是单典型群间的同构，也还有一些情形没有被确定。

典型群的表示，是内容极为丰富的一个领域，运用李群方法（包括李代数方法和紧李群上不变积分方法）研究典型群的表示，已有悠久的历史和丰富的成果，同时也还有许多重要问题值得研究。从20世纪50年代中开始的有限域上典型群的表示论的研究，也是当代十分活跃的一个领域；至于基域是一般域或体时，典型群的表示则几乎没有被研究。

近代，典型群的结构和自同构的研究已被推广到环上，特别是交换环上。数环（包括整数环和代数整数环）上的典型群是所谓的算术群，由于它牵涉的面很广，已成为近代数学的重要分支。

华罗庚在典型群的结构和自同构的研究中有自己独特的矩阵方法，他和中国其他数学工作者运用这一方法取得了一系列的成果，受到国际上的重视，被称为中国学者的矩阵方法。

参考书目
  1. 华罗庚、万哲先著：《典型群》，上海科学技术出版社，上海，1963。
  2. J.Dieudonné，Sur les Grupes Classiques， 2éed.， Springer-Verlag， Berlin， 1971.
  3. H.Wey1，Classical Groups， Princeton Univ Press， Prince-ton， 1939.
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