抛射体运动

[拼音]：paosheti　yundong

[外文]：motion of a projectile

以任意初速抛出的物体在地球重力作用下的运动。作这种运动的物体称为抛射体。抛射体的质心在运动中的轨迹称为弹道或弹道曲线。

抛射体的理想运动

指在下述四种假设下的运动：

（1）抛射体在真空中运动；

（2）抛射体的射程与地球的尺寸相比很小，故地球表面可视为平面，各处重力互相平行；

（3）抛射的高度与地球半径相比很小，各处重力加速度g可视为常数且等于在地面的值；

（4）在地面上静止的物体具有与地球在该点的转动速度相同的速度，所以初速不太大时，抛射体的运动可不考虑地球的转动。在这些假设下，抛射体对静止于地面的直角坐标系的运动方程为：

m塯＝0，m╔＝－mg。

设初速v₀与水平成θ₀角，而初始条件为：

x₀＝0，y₀＝h，

凧₀＝v₀cosθ₀，夻₀＝v₀sinθ₀，

则积分后的运动方程为：

x＝v₀tcosθ₀，

y＝v₀tsinθ₀－gt²＋h，

消去t后，得弹道方程：

。

这是一个抛物线方程(图1)。

当y=h时，可从上式求出抛射体的射程：

。

可见射程不仅与初速度v₀有关，且与θ₀有关。当θ₀=45°时，射程最大。

抛射体的实际运动

考虑空气阻力的抛射体运动。炮弹或导弹在空气中运动时，空气的阻力对弹道的影响是缩短射程、减小落地速度和增大落地角，并使弹道具有竖直渐近线（图2）。

在阻尼介质中运动的抛射体同时受到重力P和空气阻力R的作用（图3）。

R与速度v反向，其大小则为v的某一函数mf(v)，其中m为抛射体的质量，是为了算式简明而写上的。抛射体沿曲线的切向和法向的运动微分方程为：

　　　　　(1)

式中θ是速度矢量与水平轴x的夹角。

曲率半径ρ与弧长s和倾角θ有如下关系：

，

式中负号表明θ角随弧长s的增加而减小。于是式(1)可写作：

。　　 (2)

从以上两式消去dt，得到：

，　　　　　 (3)

或改写为：

。　　　　　　 (4)

只有在函数f(v)取某些特殊形式时，式(3)才有一般的积分。例如：f(v)＝cv，f(v)＝cv²，f(v)＝av+bv²(牛顿，欧拉)，f(v)＝cvⁿ（约翰第一·伯努利），f(v)＝a＋bvⁿ(达朗拍）等。在外弹道学中，方程式(3)的积分一般用近似方法。下面分述介质阻力对抛射体运动的影响。

（1）介质阻力对射程的影响　将式(4)写为：

。

由于，推出，即速度的水平分量是减函数，故射程比理想运动时要短。

（2）介质阻力对落地角的影响　 利用式(2)的第二式，

。　 (5)

沿弹道的上升段积分，y由0到h，θ由θ₀到0，得到：

。

如以θ₁代表落地角，将式(5)沿下降段积分，得到：

。

因为v_x是减函数，上面第二个积分的值必定大于第一个，故tg²θ₁＞tg²θ₀，即抛射体的落地角θ₁大于发射角θ₀。

（3）介质阻力对落地速度的影响将式 (2)的第一式乘以v并积分，得：

。

设落地时t＝t₁，落地速度为v₁，此时y＝0，上式变为：

。

此式表明v₁<v₀，即落地速度v₁小于发射速度v₀。

（4）阻尼介质中弹道的渐近线　θ角从初始值θ₀逐渐减小，在弹道顶点处变为零，此后即取负值。由式(2)中的第二式得出：

，

根据初始条件t＝0时θ＝θ₀，积分后可得：

。

从上式可以看出，当θ→时，t→∞，故在阻尼介质中弹道具有竖直渐近线。

此外，当射程较大时，例如远程弹道导弹，由于地面是球形，球面曲率的影响是增大射程（图4）。图中椭圆是导弹在地球有心力场中的真空弹道。此时的射程等于Rφ，显然大于设地面为平面情况下的射程。